Visa källa för Skeva linjer

[[Fil:Gemensam normal skeva linjer.svg|400px|miniatyr|Figur 1.]]
Inom [[tredimensionell geometri]] betecknar '''skeva linjer''' två [[linje]]r som inte skär varandra och inte är [[Parallell (matematik)|parallella]].<ref>Xantcha, 2016, ''[https://docplayer.se/35947383-Analytisk-geometri-xantcha.html Analytisk geometri]'', sid. 5-7.</ref> Ett enkelt exempel på skeva linjer är två motstående kanter på en [[tetraeder]]. Två linjer som ligger i samma plan måste antingen skära varandra eller vara parallella, så skeva linjer kan bara finnas i system med tre eller fler dimensioner. Två linjer är skeva [[om och endast om]] de inte är [[koplanär]]a.

Figur 1 avbldar den röda linjen <math>\mathbf{L}</math> och den blå linjen <math>\mathbf{L'}</math>. De båda linjerna är skeva, De ligger vardera i ett (unikt) plan som är parallellt med den andra linjen. De båda planen spänns upp av en av linjerna och den andra linjens [[Rät linje|riktningsvektor]]. Om man [[parallellprojektion|parallellprojicerar]] den ena linjen på den andra linjens plan (projektionerna är streckade i figuren), och vice versa, i normalriktningen till de båda planen, kommer linjerna att skäras av varandras avbildningar i punkterna <math>P</math> respektive <math>P'</math>. Linjen <math>\overline{PP'}</math> (grön) är den gemensamma [[normal (geometri)|normalen]] till de båda linjerna och avståndet mellan skärningspunkterna längs denna är lika med avståndet mellan de båda planen och därmed är det också det kortaste avståndet mellan de båda linjerna.

==Den gemensamma normalen==
===Avståndet mellan linjerna===
Om linjerna skrivs på [[parameterform]] som:

:<math>L:\ X=S+t \mathbf{d}</math>
:<math>L':\ X'=S'+t' \mathbf{d'}</math>

där <math>\mathbf{d}</math> och <math>\mathbf{d'}</math> är respektive linjes riktningsvektor, har vi att [[kryssprodukt]]en mellan dessa, <math>\mathbf{n}=\mathbf{d} \times \mathbf{d'}</math>, är en normalvektor till de båda planen. Enhetsvektorn i samma riktning som <math>\mathbf{n}</math> fås av:
:<math>\mathbf{\hat{n}}=\frac{\mathbf{d} \times \mathbf{d'}}{||\mathbf{d} \times \mathbf{d'}||}</math>

<math>S</math> och <math>S'</math> är två godtyckliga punkter, en på vardera linjen. Längden av vektorns <math>\vec{SS'}</math> projektion på linjen <math>Y=S+ b\mathbf{\hat{n}}</math> (eller på <math>Y'=S'+ b'\mathbf{\hat{n}}</math>) är lika med avståndet mellan planen och därigenom lika med [[Norm (matematik)|norm]]en av <math>\vec{PP'}</math> som ju är lika med avståndet mellan de båda linjerna. Vi finner detta värde direkt genom [[skalärprodukt]]en
:<math>||\vec{PP'}||=|\vec{SS'} \cdot \mathbf{\hat{n}}|</math>

eftersom <math>\mathbf{\hat{n}}</math> är en enhetsvektor.

===Bestämning av skärningspunkterna===
====Metod 1 - skärningspunkten mellan två linjer i samma plan====
Punkten <math>T = S'+ \vec{P'P}</math> ligger på projektionen av <math>L'</math> på planet genom <math>L</math>. Vi har alltså två linjer i detta plan, vilka skär varandra i <math>P</math>, således har vi:
:<math>P=S+t \mathbf{d}</math> och
:<math>P=T+t' \mathbf{d'}</math>
vilka kan lösas på önskat sätt.

Därefter erhålls <math>P' = P + \vec{PP'}</math>. Ekvationen för den gemensamma normalen ges av, exempelvis, <math>P+s \cdot \mathbf{\hat{n}}</math>.

====Metod 2 - endast skalärprodukter====
Den gemensamma normalen kan även erhållas endast med hjälp av skalärprodukt.<ref>Se Lars- Åke Lindahl, 2000, ''[http://www2.math.uu.se/~lal/kompendier/Vektorgeometri.pdf Vektorgeometri och andragradsytor], sid. 25 för ett exempel.</ref> Lösningen ges genom att finna en linje mellan en punkt på vardera linjen sådan att riktningsvektorn för linjen mellan punkterna är ortogonal mot båda linjerna. Om punkterna kallas <math>R</math> och <math>R'</math> innebär det att lösa systemet <math>\vec{RR'} \cdot \mathbf{d} =0</math> och <math>\vec{RR'} \cdot \mathbf{d'} =0</math>.

====Metod 3 - formeln för skärningspunkten mellan en linje och ett plan====
[[Fil:Gemensam normal skeva linjer 2.svg|miniatyr|Figur 2.]]
Den gemensamma normalen och dess [[fotpunkt]]er på de båda linjerna kan även beräknas med nedanstående formel (se figur 2):
:<math>P= S + \frac{\mathbf{n_2} \cdot \vec{SS'}}{\mathbf{n_2} \cdot \mathbf{d}} \cdot \mathbf{d}</math>, där <math>\mathbf{n_2}=\mathbf{d'} \times \mathbf{n}=\mathbf{d'} \times (\mathbf{d} \times \mathbf{d'})</math>

I figur 2 spänns det gula planet upp av <math>\mathbf{d'}</math> och <math>\mathbf{n}=\mathbf{d} \times \mathbf{d'}</math>. Vektorn <math>\mathbf{n_2}=\mathbf{d'} \times \mathbf{n}</math> är en normalvektor till detta plan. För att härledningen förhoppningsvis blir lättare att förstå använder vi enhetsvektorn:
:<math>\mathbf{\hat{n}_2}= \frac{\mathbf{n_2}}{||\mathbf{n_2}||}</math>
i  stället för <math>\mathbf{n_2}</math>.

Betrakta nu linjen genom <math>S</math> med riktningsvektorn <math>\mathbf{\hat{n}_2}</math>. Längden för ortogonalprojektionen av <math>\mathbf{d}</math> på denna linje ges av <math>\mathbf{\hat{n}_2} \cdot \mathbf{d}</math> och för ortogonalprojektionen av <math>\vec{SS'}</math> av <math>\mathbf{\hat{n}_2} \cdot \vec{SS'}</math>. Kvoten <math>\frac{\mathbf{\hat{n}_2} \cdot \vec{SS'}}{\mathbf{\hat{n}_2} \cdot \mathbf{d}}</math>  ger då att om man förflyttar sig <math>\frac{\mathbf{\hat{n}_2}\cdot \vec{SS'}}{\mathbf{\hat{n}_2} \cdot \mathbf{d}} \cdot \mathbf{d}</math> från <math>T</math> så hamnar man i <math>P'</math> och om man gör det från <math>S</math> så hamnar man i <math>P</math>. Alltså har vi nu:
:<math>P= S + \frac{\mathbf{\hat{n}_2} \cdot \vec{SS'}}{\mathbf{\hat{n}_2} \cdot \mathbf{d}} \cdot \mathbf{d}</math>.

Då <math>\frac{\mathbf{\hat{n}_2} \cdot \vec{SS'}}{\mathbf{\hat{n}_2} \cdot \mathbf{d}}=\frac{||\mathbf{n_2}|| \cdot  \mathbf{\hat{n}_2} \cdot \vec{SS'}}{||\mathbf{n_2}|| \cdot \mathbf{\hat{n}_2} \cdot \mathbf{d}}=\frac{\mathbf{n_2} \cdot \vec{SS'}}{\mathbf{n_2} \cdot \mathbf{d}}</math> har vi nu härlett formeln.

Formeln kan också visas genom att konstatera att det för alla punkter i planet som spänns upp av <math>\mathbf{d'}</math> och <math>\mathbf{n}</math>, och således även för <math>P</math>, gäller att <math>(P-S') \cdot \mathbf{n_2} = 0</math> eftersom <math>\mathbf{n_2}</math> är en normalvektor till planet. För <math>P</math> gäller även <math>P=S+t \mathbf{d}</math> eftersom den ligger på <math>\mathbf{L}</math>. Insättning ger:
:<math>(S+t \mathbf{d}-S') \cdot \mathbf{n_2} = 0 \Leftrightarrow (S-S') \cdot \mathbf{n_2} + t \mathbf{d}  \cdot \mathbf{n_2}= 0 \Leftrightarrow</math>
:<math>t \mathbf{d} \cdot \mathbf{n_2} = - (S-S') \cdot \mathbf{n_2} = (S'-S) \cdot \mathbf{n_2} = \vec{SS'} \cdot \mathbf{n_2} \Leftrightarrow</math>
:<math>t = \frac{\vec{SS'} \cdot \mathbf{n_2}}{\mathbf{d} \cdot \mathbf{n_2}} \Rightarrow P=S+t \mathbf{d} = S+\frac{\vec{SS'} \cdot \mathbf{n_2}}{\mathbf{d} \cdot \mathbf{n_2}} \cdot \mathbf{d} </math>

==Test av skevhet==
Om <math>S</math> är en punkt på <math>\mathbf{L}</math> och <math>S'</math> är en punkt på <math>\mathbf{L'}</math> och <math>(S-S') \cdot (\mathbf{d} \times \mathbf{d'}) \ne 0</math>.<ref>[https://mathworld.wolfram.com/SkewLines.html Skew lines] på Wolfram MathWorld.</ref> och <math>S \ne S'</math>, så är linjerna skeva. Förhållandet innebär att <math>\vec{SS'}</math> inte är koplanär med ett plan som spänns upp av <math>\mathbf{d}</math> och <math>\mathbf{d'}</math> och således är ej heller linjerna koplanära.

==Referenser==
<references/>

==Externa länkar==
* Per-Anders Svensson, ''[https://homepage.lnu.se//staff/psvmsi/vektorgeometri/Underlag/1Ma403-Lines_and_Planes_III.pdf Vektorgeometri för gymnasister - Räta linjens och planets ekvationer III]'', sid 21-25, samt [https://play.lnu.se/media/t/0_1hb3wzdt Föreläsning (video)] - skeva linjer från 36:02. Fakulteten för teknik, Linnéuniversitetet.
[[Kategori:Geometri]]