Visa källa för Sfäriska formlerna för halva vinkeln och halva sidan

[[Fil:Triangle sphérique.svg|miniatyr|Figur 1.]]
De '''sfäriska formlerna för halva vinkeln och halva sidan''' är en uppsättning formler inom [[sfärisk trigonometri]]. För en [[sfärisk triangel]] <math>\triangle ABC</math> på en [[enhetssfär]] enligt figur 1 gäller:

:<math>
\begin{align}
&\mbox{De sfäriska formlerna för halva vinkeln}
&\,\,
&\mbox{De sfäriska formlerna för halva sidan}\\[2ex]
& \sin{\textstyle\frac{1}{2}}\alpha=\sqrt{\frac{\sin(s{-}b)\sin(s{-}c)}{\sin b\sin c}}
&\qquad
&\sin{\textstyle\frac{1}{2}}a=\sqrt{\frac{-\cos S\cos (S{-}\alpha)}{\sin \beta \sin \gamma }}\\[2ex]
&\cos{\textstyle\frac{1}{2}}\alpha=\sqrt{\frac{\sin s\sin(s{-}a)}{\sin b\sin c}}
&\qquad
&\cos{\textstyle\frac{1}{2}}a=\sqrt{\frac{\cos (S{-}\beta )\cos (S{-}\gamma )}{\sin \beta \sin \gamma }}\\[2ex]
& \tan{\textstyle\frac{1}{2}}\alpha=\sqrt{\frac{\sin(s{-}b)\sin(s{-}c)}{\sin s\sin(s{-}a)}}
&\qquad
&\tan{\textstyle\frac{1}{2}}a=\sqrt{\frac{-\cos S\cos (S{-}\alpha)}{\cos (S{-}\beta )\cos(S{-}\gamma )}}
 \end{align}
</math>
:där <math>s=\frac{a+b+c}{2}</math> och <math>S=\frac{\alpha+\beta+\gamma}{2}</math><ref>Notera att <math>\cos S < 0</math> eftersom <math>S>\textstyle{\frac{\pi}{2}}</math> då vinkelsumman i en sfärisk triangel är större än <math>\pi</math>. Sålunda: <math>-\cos S > 0</math> i formlerna för sinus och tangens för halva sidan.</ref>.

Motsvarande gäller för <math>b</math> och <math>c</math> respektive <math>\beta</math> och <math>\gamma</math>.

Formlerna används för att beräkna hörnvinklarna i sfäriska trianglar om de tre sidorna är kända, respektive sidorna om hörnvinklarna är kända.

==Härledning==
Från den [[sfäriska cosinussatsen]] har vi:
:<math>\cos \alpha = \frac{\cos a - \cos b \cos c}{\sin b \sin c}</math>
Vi har också från den plana trigonometrin att:
:<math>\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2}</math>
Sålunda:
:<math>
\begin{align}
2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} &= 1 - \frac{\cos a - \cos b \cos c}{\sin b \sin c} = \\
&= \frac{\sin b \sin c + \cos b \cos c - \cos a}{\sin b \sin c} = \\
&= \frac{\cos (b-c) - \cos a}{\sin b \sin c} \qquad (1)
\end{align}
</math>
där vi i sista steget utnyttjat <math>\cos (x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y</math> från den plana trigonometrin.

Från den plana trigonometrin har vi också att <math>\cos x - \cos y = -2\sin \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}</math> vilket med <math>x = b-c</math> och <math>y=a</math> samt den halva "[[perimeter]]n" <math>s=\frac{a+b+c}{2}</math> ger oss:

:<math>
\begin{align}
\cos (b-c) - \cos a &=  -2\sin \frac{b-c+a}{2}\sin \frac{b-c-a}{2} = \\
&= -2\sin(s{-}c)\sin(b-s) = \\
&= 2\sin(s{-}c)\sin(s-b)
\qquad (2)
\end{align}
</math>
Insättning av (2) i (1) ger oss sinusformeln för halva vinkeln:
:<math>2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{2\sin(s{-}c)\sin(s{-}b)}{\sin b \sin c} \Leftrightarrow</math>

:<math>\sin{\textstyle\frac{1}{2}}\alpha=\sqrt{\frac{\sin(s{-}b)\sin(s{-}c)}{\sin b\sin c}}</math>

Cosinusformeln för halva vinkeln härleds analogt, men utnyttjar att <math>\cos^2 \frac {\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2}</math>, vilket ger <math>\cos (b+c) - \cos a =  -2\sin \frac{a+b+c}{2}\sin \frac{a-b-c}{2} = 2\sin(s)\sin(s-a)</math>

Tangensformeln för halva vinkeln fås genom att dividera formeln för sinus med formeln för cosinus.

Formlerna för halva sidan visas analogt, men med utgångspunkt i den [[duala cosinussatsen]] i stället för den sfäriska cosinussatsen, sålunda:
:<math>\cos c = \frac{\cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \sin \beta}</math>

De kan även visas ur formlerna för halva vinkeln med hjälp av polära dualitetssatsen (som ju används för att härleda den duala cosinussatsen från den sfäriska cosinussatsen, så det blir ju "samma härledning, men i olika ordning"), som säger att för den [[polär triangel|polära triangeln]] <math>\triangle A'B'C'</math> till <math>\triangle ABC</math> gäller att:
: <math> 
\begin{alignat}{3}
\alpha' &= \pi - a ,   &\qquad   \beta' &= \pi - b , &\qquad \gamma' &= \pi - c ,\\
a' &= \pi - \alpha,  &          b' &= \pi - \beta , &       c' &= \pi - \gamma
\end{alignat}
</math>

==Referenser och noter==
*[[Isaac Todhunter]], 1886, '' Spherical Trigonometry: For the Use of Colleges and Schools'', Macmillan & Co, sid. 23-24 (artikel 47-50). [https://geographiclib.sourceforge.io/geodesic-papers/todhunter86.pdf Faksimil PDF (3 MB)], [http://www.gutenberg.org/files/19770/19770-pdf.pdf?session_id=f6f2f83621b2d24c28e333638ab7c718d728608d TeX PDF (789 kB)]. 1883 års upplaga [https://books.google.se/books?id=8M02AAAAMAAJ&printsec=frontcover&hl=de#v=onepage&q&f=false online på Google Books].
*Robert E.Moritz, 1913, ''A Text Book On Spherical Trigonometry'', John Wiley And Sons, [https://archive.org/details/textbookonspheri033273mbp/page/n51 sid. 39-43].
<references/>

[[Kategori:Sfärisk trigonometri]]