Visa källa för Satsen om största och minsta värde

[[Fil:Extreme Value Theorem.svg|höger|miniatyr|En kontinuerlig funktion på intervallet <math>[a,b]</math> med största (röd prick) och minsta värde (blå prick) markerade.]]

'''Satsen om största och minsta värde''', ibland kallad '''Weierstrass sats''', är en [[matematisk sats|sats]] inom [[matematisk analys]] enligt vilken varje [[funktion]] som är [[kontinuerlig funktion|kontinuerlig]]  på ett [[slutet intervall|slutet]] och [[begränsat intervall]] antar sitt största respektive minsta värde minst en gång vardera.

Mer formellt uttryckt, om funktion <math>f</math> är kontinuerlig på intervallet <math>[a,b]</math> så finns tal <math>c</math> och <math>d</math> i <math>[a,b]</math> så att
:<math>f(c) \leq f(x) \leq f(d)</math> för alla <math>\ x\in [a,b]</math>.

Detta kan generaliseras till att en kontinuerlig funktion som avbildar ett [[kompakt rum]] på en [[delmängd]] till de [[reella tal]]en antar sitt största respektive minsta värde.

==Bevis==
===Funktioner från <math>[a, b]</math> till <math>\mathbb{R}</math>===
Nedan följer ett bevis för att funktionen antar sitt största värde. Beviset för att minsta värdet antas är analogt, använd funktionen <math>-f</math> istället för <math>f</math>.

Låt <math>f</math> vara en kontinuerlig funktion på intervallet <math>[a,b]</math>.

Antag att <math>f</math> inte är en [[uppåt begränsad funktion]]. Då finns för varje naturligt tal <math>n</math>, enligt den [[Arkimediska egenskapen]],  ett  <math>x_n</math> i <math>[a,b]</math> så att <math>f(x_n) > n</math>. Detta definierar en [[talföljd]] <math>(x_n)</math>. Då <math>[a,b]</math> är begränsad ger [[Bolzano-Weierstrass sats]] att det finns en konvergent delföljd <math>(x_{n_k})</math> till <math>(x_n)</math> med gränsvärde <math>x</math> och <math>x</math> ligger i <math>[a,b]</math> eftersom intervallet är slutet. <math>f</math> är kontinuerlig, så <math>f(x_{n_k})</math> konvergerar till <math>f(x)</math>. Men <math> f(x_{n_k}) \geq n_k </math> för varje <math>n_k</math>, vilket ger att följden <math>(f(x_{n_k}))</math> divergerar. Detta ger en motsägelse. Alltså är <math>f</math> uppåt begränsad på <math>[a,b]</math>.

Då <math>f</math> är uppåt begränsad på <math>[a,b]</math> finns det, enligt [[supremumegenskapen]], ett <math>M</math> så att <math> f(x) \leq M </math> för alla <math>x</math> i <math>[a,b]</math>. Ta nu talet <math>M-1/n</math>, som inte är en övre gräns för <math>f(x)</math>. Det finns då alltså tal <math> d_n </math> i <math>[a,b]</math> så att <math>M-1/n<f(d_n)</math>. Definiera en talföljd <math>(d_n)</math> med detta. Vi får nu att:
:<math>M-\frac{1}{n} < f(d_n) \leq M </math>
vilket ger att <math>f(d_n)</math> konvergerar mot <math>M</math>. Enligt Bolzano-Weierstrass sats finns en delföljd <math>(d_{n_k})</math> som konvergerar till något tal <math>d</math>, som måste ligga i <math>[a,b]</math> då intervallet är slutet. Då <math> f(d_n) </math> konvergerar till <math>M</math> måste även <math>f(d_{n_k})</math> konvergera till <math>M</math>. Men eftersom <math>f</math> är kontinuerlig konvergerar <math>(f(d_{n_k}))</math> till <math>f(d)</math>. Alltså antar <math>f</math> sitt största värde <math>M</math> i <math>d</math>.

===Funktioner från kompakta rum till <math>\mathbb{R}</math>===
Låt <math>f</math> vara en kontinuerlig funktion från ett kompakt rum <math>X</math> till någon delmängd av de reella talen. <math>f</math> är kontinuerlig, så den avbildar kompakta mängder på kompakta mängder. De kompakta mängderna i <math>\R</math> är de slutna och begränsade mängderna. Därmed finns supremum och [[infimum]], <math>M</math> och <math>m</math>, för <math>f</math> och det måste finnas <math>c</math> och <math>d</math> i <math>X</math> så att <math>f(c) = m</math> och <math>f(d)=M</math>, annars är inte mängden sluten.

==Exempel==
Följande exempel visar att mängden måste vara både sluten och begränsad:
*<math>f(x)=x</math> på <math>[0, \infty[</math> är inte uppåt begränsad.
*<math>f(x) = \frac{x}{1+x}</math> på <math>[0, \infty[</math> är uppåt begränsad men antar aldrig sitt supremum som är 1.
*<math>f(x) = \frac{1}{x}</math> på <math>]0,1]</math> är inte uppåt begränsad.
*<math>f(x) = 1-x</math> på <math>]0,1]</math> antar aldrig sitt supremum som är 1.

==Referenser==
*{{bokref |titel=Principles of Mathematical Analysis |efternamn=Rudin |förnamn=Walter |år=1976 |utgivare=McGraw-Hill |isbn=978-0-07-085613-4}}
*{{enwp|url=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Extreme_value_theorem&oldid=278264253|artikel=Extreme value theorem|datum=19 mars 2009}}

[[Kategori:Satser inom analys]]

[[de:Stetigkeit#Satz vom Minimum und Maximum]]