Visa källa för Residy

En '''residy''' är inom [[komplex analys]] ett tal som beskriver beteendet hos kurvintegraler av [[meromorf funktion|meromorfa funktioner]] runt en [[singulär punkt]]. Residyer är relativt lättberäknade och kan användas till att bestämma avancerade integraler via [[residysatsen]].

== Definition ==
Residyn av en meromorf funktion ''f'' vid en isolerad singularitet ''a'' är det entydigt bestämda komplexa talet ''R'' så att funktionen
:<math>f(z)-\frac{R}{z-a}</math>
har en [[analytisk funktion|analytisk]] [[primitiv funktion]] i den [[punkterad skiva|punkterade skivan]] {{nowrap|0 < {{!}}z - a{{!}} < δ}}

Residyn vid ''a'' kan även definieras som termen ''c''<sub>-1</sub> i [[Laurentutveckling]]en av ''f(z)'' kring ''a'':
:<math>\sum _{-\infty} ^\infty c_k(z-a)^k</math>

Residyn av funktionen ''f'' i punkten ''a'' betecknas vanligen 
:<math>\operatorname{Res}(f,a)</math>
eller 
:<math>\operatorname{Res}_{z = a} f(z).</math>

== Beräkning ==
Om ''f'' är analytisk i ''a'', så 
:<math>\operatorname{Res} (f,a) = 0</math>.

Om ''f'' har en enkel [[pol (matematik)|pol]] i ''a'' kan residyn beräknas med:
:<math>\operatorname{Res} (f,a) = \lim_{z \to a} (z-a)f(z).</math>

Om ''g'' och ''h'' är analytiska och ''f(z)'' = ''g(z)''/''h(z)'' har en enkel pol i ''a'' fås residyn av:
:<math>\operatorname{Res} (f,a) = \frac{g(a)}{h'(a)}</math>

Generellt, om ''f'' har en pol av ordning ''m'' i punkten ''a'':
:<math>\operatorname{Res} (f,a) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to a} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\left(f(z)(z-a)^m\right)</math>

Man kan även beräkna funktionens Laurentserie och läsa av koefficienten ''c''<sub>-1</sub>.

== Källor ==
* {{bokref |titel=Complex Analysis |efternamn=Ahlfors |förnamn=Lars |år=1979 |utgivare=McGraw-Hill |isbn=0-07-000657-1 |sid= }}
* {{bokref |titel=Fundamentals of Complex Analysis |efternamn=Saff |förnamn=E.B. |medförfattare=A.D. Snider |år=2003 |utgivare=Prentice Hall |isbn= 0-13-017968-X |sid= }}

[[Kategori:Komplex analys]]