Visa källa för Rand (topologi)

[[Fil:Runge theorem.svg|miniatyr|Ett område (ljusblått) med sin rand (mörkblå).]]
Inom [[topologi]] definieras '''randen''' av ett [[område]] som de [[Punkt (matematik)|punkt]]er där det i varje [[omgivning]] till en sådan punkt (hur liten man än väljer den) går att hitta både punkter som tillhör området och sådana som inte tillhör området. En punkt som tillhör randen kallas '''randpunkt'''.

Randen kan tillhöra området eller ej. Randkonceptet är [[topologi]]skt, så om man byter topologi kan randen för en mängd ändras.

För vanliga [[geometrisk figur|geometriska figurer]] kallar man ofta randen för dess [[omkrets]].

I dagligt tal kallas randen ibland för '''ände'''.

== Definitioner ==
Låt ''S'' vara ett område i ''X'', då följande definitioner av randen <math>\partial S</math> är [[ekvivalenta]]:
* [[Slutna höljet]] av ''S'' med [[det inre]] borttaget:
:<math>\partial S = \overline{S} \setminus S^o</math>
* [[Snitt (matematik)|Snittet]] mellan slutna höljet av [[komplement]]et till ''S'' respektive ''S'':
:<math>\partial S = \overline{S} \cap \overline{S^c}</math>
* Mängden av punkter ''p'' så att varje omgivning av ''p'' innehåller minst en punkt som tillhör ''S'' och minst en som inte tillhör ''S''.

== Exempel ==
Exempel för [[reella talen]] (med den vanliga topologin):
:<math>\partial [0,5] = \partial [0,5[ = \partial ]0,5] = \partial ]0,5[ = \{0,5\}</math>
:<math>\partial \varnothing = \varnothing</math>
:<math>\partial \Q = \R</math>
där det sista följer av att '''Q''' är en [[tät delmängd]] till '''R''' med tomt inre.

== Egenskaper ==
* Randen till en mängd är sluten,
* Randen till en mängd är samma som randen till komplementet av mängden.
* En mängd är [[sluten mängd|sluten]] [[om och endast om]] randen tillhör mängden.
* En mängd är [[öppen mängd|öppen]] om och endast om randen är disjunkt från mängden.
* Slutna höljet av en mängd är mängden med sin rand: 
:<math>\overline{A} = A \cup \partial A</math>.
* Randen till en mängd är tom om och endast om mängden är både öppen och sluten.

== Se även ==
* [[Måtteoretisk rand]]

[[Kategori:Topologi]]