Visa källa för Pseudo-Riemannsk mångfald

[[Fil:Interacción_de_la_gravedad.png|thumb|350px|right| 
Matematiskt är den krökta [[rumtid]]en, som använder [[allmänna relativitetsteorin]], en pseudo-Riemannsk mångfald med krökning given av [[stressenergitensor]]n.]]
En '''pseudo-Riemannsk mångfald''', ''pseudo-Riemannmångfald'', ''semi-Riemannsk mångfald'' är en generalisering av en [[Riemannmångfald]], där avstånd inte nödvändigtvis är positiva. Den absolut mest välkända tillämpningen av pseudo-Riemannska mångfalder är den [[allmän relativitetsteori|allmänna relativitetsteorins]] beskrivning av universum som en fyrdimensionell [[rumtid]], som ges en pseudo-Riemannsk struktur där ljus rör sig längs kurvor som alltid har längd 0. 

== Definition ==

Den matematiska definitionen är att en pseudo-Riemannsk mångfald är en [[glatt mångfald|glatt (slät) mångfald]] som har en slät, [[symmetrisk]] <math>(0,2)</math>-[[tensor]] som är [[icke-degenererad]] i varje punkt på mångfalden. Denna tensor kallas en ''pseudo-Riemannsk metrik'' eller enklare en ''(pseudo)[[metrisk tensor]]''.

Den stora skillnaden mellan en riemannsk och en pseudo-Riemannsk metrik är att den senare bara behöver uppfylla kravet på bara att vara icke-degenererad och inte nödvändigtvis behöver vara [[positivt definit]]. Eftersom alla positivt definita former också är icke-degenererade, är en Riemannsk metrik ett specialfall av en pseudo-Riemannsk och de pseudo-Riemannska mångfalderna kan betraktas som generaliseringar av de [[Riemannsk mångfald|Riemannska mångfalderna]].

== Signatur ==

Varje icke-degenererad, symmetrisk [[bilinjär form]] har en bestämd [[metrisk signatur|signatur]] <math>(p,q)</math> där <math>p</math> och <math>q</math> är antalet positiva och negativa [[egenvärde (matematik)|egenvärden]] till formen och <math>p + q = n</math> är mångfaldens [[dimension]]. Hos en pseudo-Riemannsk mångfald är signaturen densamma hos alla [[sammanhängande rum|sammanhängande delar]], dvs metriken ska ha samma signatur som mångfalden. Riemannska mångfalder är pseudo-Riemannska mångfalder med signaturen <math>(n,0)</math>.

== Lorentzmångfalder ==

Pseudo-Riemannska metriker med signaturen <math>(p,1)</math> (eller, beroende på olika konventioner, <math>(1,q)</math>) kallas [[Lorentzmetrik]]er och en mångfald med Lorentzmetrik kallas följaktligen en [[Lorentzmångfald]]. I teorin om [[allmän relativitetsteori|allmän relativitet]] utgår man från en modell där [[rumtid]]en antas vara en Lorentzmångfald med signaturen <math>(3,1)</math>. Lorentzmångfalderna har genom detta fått många praktiska tillämpningar och är, efter Riemannmångfalderna, en av de viktigare pseudo-Riemannska mångfalderna.

== Egenskaper hos pseudo-Riemannska mångfalder ==

Liksom det [[Euklidiskt rum|euklidiska rummet]] <math>\mathbf R^n</math> kan ses som en [[matematisk modell]] för [[riemannmångfald]]en kan [[rumtid|Minkowskirummet]] <math>\mathbf R^{p,1}</math> sägas vara en modell för Lorentzmångfalden. En modell för en pseudo-Riemannmångfald med signaturen <math>(p,q)</math> är då <math>\mathbf R^{p,q}</math> med metriken
:<math>g = dx_1^2 + \cdots + dx_p^2 - dx_{p+1}^2 - \cdots - dx_{p+q}^2</math>

Några av [[Riemanngeometri]]ns grundläggande satser kan generaliseras till att omfatta även det pseudo-Riemannska fallet. Detta gäller i synnhet [[Riemanngeometrins huvudsats]] som även gäller pseudo-Riemannmångfalder vilket gör att man tillämpa [[Levi-Civita-konnektionen]] och den med den associerade [[krökningstensor]]n på dessa mångfalder. Alla Riemanngeometrins satser kan dock inte generaliseras på detta vis, till exempel gör vissa [[topologi]]ska hinder att alla glatta mångfalder inte tillåter en pseudo-Riemannsk metrik med en given signatur.

[[Kategori:Differentialgeometri]]