Visa källa för Potens

{{källor|månad=2020-06}}
{{Matematiska operationer}}
{{För|den medicinska betydelsen|Impotens|ett läkemedels "styrka"|Potens (farmakologi)|det geometriska förhållandet mellan en punkt och en cirkel|Potens (geometri)}}

En '''potens''' kallas ett uttryck <math>a^b</math> där ''a'' kallas basen och ''b'' kallas [[exponent]]en och utläses "a upphöjt till b". [[Matematisk operation|Operationen]] att "upphöja" kallas '''exponentiering'''.

I grafräknare och i datorsammanhang brukar man uttrycka potenser som <code>a^b</code> där ''a'' är basen och ''b'' är exponenten.

== Exempel ==
Uttrycket <math>4^5</math> är en potens och utläses "4 upphöjt till 5" där 4 är '''''basen''''' och 5 är en '''''expontent'''''.

<math>4^5</math> betyder exakt samma sak som 4 · 4 · 4 · 4 · 4. Alltså, fem stycken fyror gånger varandra vilket är lika med 1024.

== Definitioner ==
[[File:Exp-4-plot.png|thumb|upright=1.2|Grafer för {{nowrap|1=''y'' = ''b''<sup>''x''</sup>}} för olika baser ''b'': 10<sup>x</sup>, ''e''<sup>x</sup>, 2<sup>x</sup> och 0,5<sup>x</sup>. Varje kurva passerar genom punkten {{nowrap|(0, 1)}}. Vid {{nowrap|1=''x'' = 1}}, är värdet av ''y'' lika med basen därför att varje tal upphöjt till 1 är talet självt]]
I sin enklaste form (som tidigare kallades ''dignitet'')
definieras potenser som resultatet av upprepad [[multiplikation]].
Exempelvis, 4<sup>3</sup> (utläses 4 upphöjt till 3) blir 4 · 4 · 4 = 64. Mer allmänt gäller:
:<math>b^n = \underbrace{b \times \cdots \times b}_n</math>
I denna definition förutsätts att exponenten är ett positivt [[heltal]].

=== Potenslagarna ===
Ur definitionen av potenser med [[positiva tal]] som heltalsexponent, kan '''potenslagarna''' härledas:
* <math>{(x \cdot y)}^n = x^n \cdot y^n </math>
:
* <math>{ \left( {x \over y }\right)^m} = {x^m \over y^m}</math>
:
* <math>x^m \cdot x^n = x^{m+n}</math>
:
* <math>{x^m \over x^n} = x^{m-n}, (x \ne 0)</math>
:
* <math>{(x^m)}^n = x^{m \cdot n}</math>

Utgående från dessa lagar definieras sedan utvidgade betydelser av potens.

=== Utvidgning till alla heltal ===
Med utgångspunkt i att potenslagarna skall gälla även när exponenten är ett negativt heltal, följer av den näst sista potenslagen ovan att
* ''a''<sup>0</sup> = 1 (om ''a'' ≠ 0) om ''m'' = ''n''. Exempel: ''2''<sup>''0''</sup> = 1 (läs mer under [[tom produkt]])
* ''a''<sup>−''n''</sup> = 1 / ''a''<sup>''n''</sup> (om ''a'' ≠ 0)  om ''m'' < ''n''. Exempel: ''2''<sup>−''1''</sup> = 1/''2''<sup>''1''</sup> = 1/2 .

För ''a'' = 0 går det inte att ge en definition för ''a''<sup>''x''</sup> annat än om ''x'' > 0. Speciellt hör uttrycket 0<sup>0</sup> till de [[Obestämd form (matematik)|odefinierbara uttrycken]].

=== Utvidgning för rationella exponenter ===
Genom att tillämpa den sista potenslagen kan även potenser med [[rationellt tal|rationella]] exponenter beräknas, förutsatt att basen är större än noll. 
* ''x'' = ''a'' <sup>''p''/''q''</sup> (där ''a'' > 0) är det positiva tal ''x'' som uppfyller ''x''<sup>''q''</sup> = ''a''<sup>''p''</sup> eftersom  ''x''<sup>''q''</sup> = (''a'' <sup>''p''/''q''</sup>)<sup>''q''</sup> = ''a''<sup>''p''/''q'' ∙ ''q''</sup> = ''a''<sup>''p''</sup> .

Speciellt betecknas ''a''<sup>1/2</sup> som (kvadrat)[[kvadratrot|roten]] ur ''a'' (skrives<math>\sqrt a</math>) och ''a''<sup>1/3</sup> som [[kubikrot]]en ur ''a'' (skrives <math>\sqrt[3] a</math>).

Om basen är noll eller mindre, är potensen inte definierad, vilket beror på att om ''p'' är udda och ''q'' är jämnt går det inte att få likhet för negativa tal ''a''. Udda rötter är däremot definierade för alla reella tal.

=== Utvidgning för alla reella exponenter ===
Om exponenten är [[irrationella tal|irrationell]], det vill säga [[reella tal|reell]] men inte rationell, utgår man från [[kontinuerlig|kontinuitetsprincipen]]:

Om ''x''<sub>1</sub><''y''<''x''<sub>2</sub> så ska ''a''<sup>''x''<sub>1</sub></sup><''a''<sup>''y''</sup><''a''<sup>''x''<sub>2</sub></sup> gälla (där ''a''>1), och genom att låta ''x''<sub>2</sub> − ''x''<sub>1</sub> bli allt mindre, bestäms ''a''<sup>''y''</sup> som ett [[gränsvärde]]. (Om 0<''a''<1 gäller omvända olikheter.)

=== Alternativ definition av exponentialfunktionen ===
Det är också möjligt att använda ''a''<sup>''x''</sup> = ''e''<sup>''x ln a''</sup> för att definiera potensfunktionen.

En sådan definition kan göras med exponentialfunktionens serieutveckling:
:<math>e^x= \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math>
eller utgå ifrån en definition av den naturliga logaritmen:
:<math>\ln (x) = \int_1^x {dt \over t}</math>

=== Utvidgning för komplexa tal===
====Imaginära exponenter med basen ''e''====
Ett [[komplexa tal|komplext tal]] är ett uttryck av formen <math>z=x+iy</math>, där ''x'' och ''y'' är reella tal och ''i'' är den [[imaginära enheten]], ett tal som satisfierar regeln <math>i^2=-1</math>.  Ett komplext tal kan åskådliggöras som en punkt i (''x'',''y'')-planet.  De [[polära koordinater]]na för en punkt i (''x'',''y'')-planet består av det icke-negativa talet ''r'' och vinkeln ''θ'' sådana att {{math|1=''x'' = ''r'' cos θ}} och {{math|1=''y'' = ''r'' sin θ}}:
:<math>x+iy=r(\cos\theta + i\sin\theta).</math>
Produkten av två komplexa tal {{math|1=''z<sub>1</sub>'' = ''x''<sub>1</sub> + i''y''<sub>1</sub>}}, {{math|1=''z<sub>2</sub>'' = ''x''<sub>2</sub> + i''y''<sub>2</sub>}} erhålls genom expansion av produkten av binomen och förenkling med hjälp av regeln <math>i^2=-1</math>:
:<math>z_1z_2=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2) = (x_1x_2-y_1y_2) + i(x_1y_2+x_2y_1).</math>
Som en konsekvens av formler för trigonometriska vinkelsummor; om {{math|''z''<sub>1</sub>}} och {{math|''z''<sub>2</sub>}} har de polära koordinaterna (''r<sub>1</sub>'', ''θ<sub>1</sub>''), (''r<sub>2</sub>'', ''θ<sub>2</sub>''), så är deras produkt ''z<sub>1</sub>z<sub>2</sub>'' i polära koordinater lika med (''r<sub>1</sub>r<sub>2</sub>'', ''θ<sub>1</sub>'' + ''θ<sub>2</sub>'').

Lösningarna till ekvationen ''e''<sup>''z''</sup> = 1 är heltalsmultiplarna 2π''i'':
:<math>\{ z : e^z = 1 \} = \{ 2k\pi i : k \in \mathbb{Z} \}</math>

Mera generellt, om {{math|1=''e''<sup>''v''</sup> = ''w''}}, så kan varje lösninig till {{math|1=''e''<sup>''z''</sup> = ''w''}} erhållas genom addition av en heltalsmultipel 2π''i'' till ''v'':
:<math>\{ z : e^z = w \} = \{ v + 2k\pi i : k \in \mathbb{Z} \}</math>

Således är den komplexa exponentialfunktionen en [[periodisk funktion]] med perioden 2π''i'':
:<math>e^{i\pi} = -1;\quad e^{x + iy} = e^x(\cos y + i \sin y)</math>.

== Mer om potensers egenskaper ==
Till skillnad från [[addition]] och [[multiplikation]] har operationen exponentiering nästan ingen av "de vanliga" algebraiska egenskaperna, som brukar användas för att förenkla räkningar. Av [[#Potenslagarna|potenslagarna]] kan man utläsa, att ''exponentiering är [[högerdistributiv]] med avseende på multiplikation'' (''det vill säga att'' (''a&nbsp;·&nbsp;b'')<sup>c</sup>&nbsp;=&nbsp;a<sup>c</sup>&nbsp;·&nbsp;b<sup>c</sup>''); och operationen har det [[högerneutral]]a elementet 1 (eftersom {{nowrap|1=''a''<sup>1</sup> = ''a''}}. Däremot är exponentiering inte vänsterdistributiv, och saknar vänsterneutralt element).

Exponentiering är inte heller [[kommutativ]]. Exempelvis är {{nowrap|1=2 + 3 = 5 = 3 + 2}} och {{nowrap|1=2 · 3 = 6 = 3 · 2}}, eftersom addition och multiplikation är kommutativa operationer, men {{nowrap|1=2<sup>3</sup> = 8}}, vilket inte är detsamma som {{nowrap|1=3<sup>2</sup> = 9}}.

Exponentiering är inte heller [[associativ]], till skillnad från addition och multiplikation. Exempelvis är
{{nowrap|1=(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9}} och {{nowrap|1=(2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24}}, men 2<sup>3</sup> upphöjt till 4 är 8<sup>4</sup>&nbsp;=&nbsp;{{formatnum:4096}}, medan 2 upphöjt till 3<sup>4</sup> är 2<sup>81</sup>&nbsp;=&nbsp;{{formatnum:2417851639229258349412352}}. Observera att om man inte använder parenteser för att ändra prioriteringsordningen, så "beräknas exponenter först", så att till exempel
:<math>b^{p^q} = b^{(p^q)} \ne (b^p)^q = b^{(p \cdot q)} = b^{p \cdot q}</math>.

(Detta gäller oberoende av om man använder det vanliga beteckningssättet med "små upphöjda" exponenter, eller i stället betecknar exponentiering medelst symbolen ^. I datoralgebrasystem gäller alltså normalt tolkningen ''b^p^q&nbsp;=&nbsp;b^(p^q)&nbsp;≠&nbsp;(b^p)^q''.)

== Funktioner med potenser ==

Till viktiga funktionstyper som har sitt ursprung ur potenser räknas

*[[Potensfunktion]]er och [[rotutdragning]]ar
*[[Polynom]]
*[[Exponentialfunktion]]er och [[logaritmer]]

== Se även ==
* [[Multiplikation]]
* [[Rot av tal|''n'':te roten]]
* [[Tiopotens]]
== Externa länkar ==
* {{Commonscat|Exponentiation}}


[[Kategori:Aritmetik]]
[[Kategori:Matematisk terminologi]]
[[Kategori:Grundläggande matematik]]
[[Kategori:Binära operationer]]