Visa källa för Pi

{{Hänvisning|den matematiska konstanten pi (π)|andra betydelser|Pi (olika betydelser)}}
{{Irrationellt tal
|namn               = Pi
|symbol             = π
|bild               = [[Fil:Pi-unrolled-720.gif|400px]]
|bildtext           = Illustration av π som förhållandet mellan diameter och omkrets av en cirkel med diametern 1.
|decimalt           = 3,14159265358979 ...
|diofantiska        = 
|kedjebråk          = 
|trigonometri       = arccos(-1)
}}
Talet '''π''' ('''pi'''), även kallat [[Arkimedes|Arkimedes konstant]], är en [[matematisk konstant]] som representerar förhållandet mellan en [[cirkel]]s [[omkrets]] och [[diameter]]. Dess värde är knappt 3,1416 men då talet är [[irrationella tal|irrationellt]] kan det aldrig skrivas ut exakt med siffror. Beteckningen π infördes troligen 1706, från den första bokstaven i det grekiska ordet för omkrets, περιφέρεια (periferi). π är ofta approximerad som 3,14<ref>{{webbref |url=https://www.quora.com/How-the-value-of-pi-3-14-was-solved |titel=How the value of pi (3.14) was solved? |hämtdatum=20 maj 2018 |format= | verk =  |utgivare=Quora | språk = engelska }}</ref> och en [[Rationella tal|rationell]] approximation som är användbar för många syften är 22/7, eller bättre 355/113.<ref>{{bokref |efternamn=Karush |förnamn=William |titel=Matematisk uppslagsbok |url=https://www.kurslitteratur.se/isbn/9789146130048/ |format= |hämtdatum= |volym= |utgivare=Wahlström & Widsrand |utgivningsort= |språk=svenska |isbn=91-46-14140-5 |sid=246 |kapitel= |år=1984 |arkivdatum=2018-05-21 |arkivurl=https://web.archive.org/web/20180521104236/https://www.kurslitteratur.se/isbn/9789146130048/ }}</ref>

== Historik ==
[[Fil:Archimedes pi.svg|miniatyr|Arkimedes metod för att uppskatta π. Genom att innesluta en cirkel mellan två [[regelbunden polygon|regelbundna polygoner]] erhålls en undre och en övre gräns för cirkelns omkrets eller area och därmed också för π. Arkimedes använde sig av en 96-hörning i sin [[approximation]].]]

De tidigaste kända uppskattningarna av π:s värde härstammar från tiden cirka två årtusenden f.Kr. då [[babylon]]ierna använde värdet 25/8 = 3,125, och [[egyptier]]na enligt [[Rhindpapyrusen]] uppskattade π till 256/81 ≈ 3,16. [[Arkimedes]] överträffade cirka 250 f.Kr. dessa resultat då han med en geometrisk konstruktion visade att π måste ligga mellan 223/71 och 22/7, motsvarande en noggrannhet på en enhet i tredje decimalen. Betydande framsteg gjordes under nästföljande dryga 1500 år av [[Arabvärlden|arabiska]], [[Kina|kinesiska]] och [[Indien|indiska]] matematiker, kulminerande cirka 1400 med [[Madhava av Sangamagrama|Madhava]]s beräkning av 11 korrekta decimaler, överträffad av [[Ghiyath al-Kashi]]s 16 några år senare. Den tyske 1500-talsmatematikern [[Ludolph van Ceulen]] vigde större delen av sitt liv åt att beräkna π med Arkimedes metod; han lyckades bestämma talet med 35 decimaler och det har i äldre nederländsk litteratur kallats ''Ludolphs tal''.

Den [[matematisk analys|matematiska analysen]] har gett upphov till [[oändlig serie|serier]] och [[iteration]]er för π:s exakta värde som i princip gör det möjligt att beräkna talet med önskad precision. Exempel är [[François Viète]]s formel från 1593
:<math>\frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots,</math>

[[Gottfried Leibniz]] formel
:<math>\frac{\pi}{4} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots,</math>

och [[John Wallis]] produkt
:<math>\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots.</math>

Först att nå 100 decimaler var [[John Machin]], som 1706 använde den nu berömda [[Machins formel]],

:<math>\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239},</math>

kombinerad med [[Taylorserie]]n för [[arctan]]. Efter honom lyckades 1800-talets matematiker beräkna hundratals decimaler för hand. Sedan mitten av 1900-talet har [[dator]]er gjort det möjligt att beräkna tusentals, miljontals, miljardtals och biljontals decimaler av π.

Den oändliga decimalutvecklingen har i sig fascinerat. Trots att de första 50 decimalerna räcker för att beräkna det synliga [[universum]]s omkrets med en noggrannhet av en [[atomkärna]]s storlek har det blivit något av en tävling i att beräkna π med så många decimaler som möjligt – det senaste rekordet ligger på 31,4 [[biljon]]er ({{Formatnum:31415926535897}}) stycken.<ref>{{Webbref|titel=Pi in the sky: Calculating a record-breaking 31.4 trillion digits of Archimedes’ constant on Google Cloud|url=https://cloud.google.com/blog/products/compute/calculating-31-4-trillion-digits-of-archimedes-constant-on-google-cloud/|verk=Google Cloud Blog|hämtdatum=2019-10-17|språk=en}}</ref>

==Egenskaper==
I dagligt bruk avrundas π ofta till 3,14<ref name="Nationalencyklopedin">{{webbref|url=https://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/l%C3%A5ng/pi|titel=pi|utgivare=[[Nationalencyklopedin]]|hämtdatum=1 april 2010}}</ref>, även om decimalerna fortsätter i [[oändlighet]] utan att uppvisa någon regelbundenhet.<ref name="alltomvetenskap">{{Webbref |url = http://www.alltomvetenskap.se/nyheter/vad-ar-pi |titel = Vad är pi? |utgivare = Allt om vetenskap |datum = 9 mars 2004 |hämtdatum = 12 augusti 2013}}</ref> Talet är irrationellt och [[transcendent tal|transcendent]], det vill säga: Det kan inte skrivas som ett [[bråk]] mellan två [[heltal]], och det kan inte uttryckas algebraiskt. Det innebär att cirkelns geometriska egenskaper inte kan uttryckas exakt utan talet π och att [[cirkelns kvadratur]] är ett problem som inte har någon lösning. Utöver dessa egenskaper är π intressant eftersom det dyker upp på många olika håll inom matematiken, somliga till synes helt utan koppling till det geometriska ursprunget. Talet har studerats av framstående matematiker under alla tider, men flera frågor är ännu ouppklarade.<ref name="alltomvetenskap"/><ref>{{Webbref |url = http://www.kunda.nu/dennis/dj/pdf/pi.pdf |titel = Talet pi (π) |datum = 10 februari 2008 |hämtdatum = 12 augusti 2013 |arkivurl=https://web.archive.org/web/20140310161459/http://www.kunda.nu/dennis/dj/pdf/pi.pdf |arkivdatum=2014-03-10 |format={{PDF}}}}</ref><ref>{{Webbref |url = http://te12c.wordpress.com/2013/01/29/det-irrationella-talet-pi/ |titel = Det irrationella talet Pi| hämtdatum = 12 augusti 2013}}</ref>
Det är inte ovanligt att talet approximeras med 22/7 (ungefär 3,143) i beräkningar, vilket kan härledas till Arkimedes.

Beteckningen π, som härstammar från det grekiska ordet περιφέρεια (''periferi''), valdes 1706 av [[William Jones (matematiker)|William Jones]] för att beteckna talet och standardiserades samma århundrade genom [[Leonhard Euler]].<ref name="alltomvetenskap"/> Det råder delade meningar över huruvida tecknet π ska skrivas i rak stil eller [[kursiv]] (''π'' eller ''<span style="font: 130% Times New Roman, serif;">π</span>''). [[Swedish Standards Institute|SIS]] rekommenderar rak stil vilket beskrives i den svenska standarden ''SS 03 61 07 - Grafisk teknik – Sättningsregler – Matematik och kemi''.

== Matematiska egenskaper ==
Att π är irrationellt bevisades 1761 av [[Johann Heinrich Lambert]]. Dess [[transcendent tal|transcendens]] bevisades 1882 av [[Ferdinand von Lindemann]].<ref name="alltomvetenskap"/>

Den mest gäckande ouppklarade frågan är huruvida π är [[normalt tal|normalt]], det vill säga om alla siffror och sifferkombinationer, i alla [[Talbas|baser]], förekommer med samma sannolikhet som om talet vore helt "slumpmässigt". Statistiska undersökningar av miljardtals siffror som beräknats med datorer pekar åt det hållet, men matematiska bevis saknas. [[David H. Bailey]] och [[Richard E. Crandall]] visade dock år 2000 att π är normalt i basen två om en trolig hypotes från [[kaosteori]]n är sann.<ref>http://www.sciencenews.org/articles/20010901/bob9.asp</ref>

Det är också okänt huruvida π och [[e (tal)|''e'']] är [[algebraiskt oberoende]], men det är känt att åtminstone det ena av π''e'' och π + ''e'' är [[transcendent tal|transcendent]]. Talet ''e''<sup>π</sup>, kallat [[Gelfonds konstant]], är dock transcendent, liksom π och ''e'', medan ''e''<sup>iπ</sup> är lika med heltalet −1.

== Formler där π uppträder ==
=== Geometri ===
π förekommer i många [[geometri]]ska formler för [[cirkel|cirklar]], [[sfär]]er och andra runda objekt.

{| border="1" cellpadding="5" style="border-collapse: collapse; border-color:#cccccc;"
!<!--- Bild --->
!Geometrisk form
!Formel
|-
|rowspan="2"|[[Fil:Geometri cirkel.png|75px|Cirkel]]
|[[Omkrets]]en av en cirkel med [[radie]]n ''r'' och [[diameter]]n ''d''
|<math>O = \pi d = 2 \pi r \,\!</math>
|-
|[[area (geometri)|Arean]] av en cirkel med radien ''r''
|<math>A = \pi r^2 \,\!</math>
|-
|[[Fil:Elipse.svg|75px|Ellips]]
|Arean av en [[ellips (matematik)|ellips]] med halvaxlarna ''a'' och ''b''
|<math>A = \pi a b \,\!</math>
|-
|rowspan="2"|[[Fil:Sphere wireframe.svg|75px|Sfär]]
|[[Volym]]en av en sfär med radien ''r'' och diametern ''d''
|<math>V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{1}{6} \pi d^3 \,\!</math>
|-
|[[Area]]n av en [[sfär]] med radien ''r''
|<math>A = 4 \pi r^2 \,\!</math>
|-
|rowspan="2"|[[Fil:Cylinder geometry.svg|50px|center|Cylinder]]
|Volymen av en [[cylinder (geometri)|cylinder]] med höjden ''h'' och radien ''r''
|<math>V = \pi r^2 h \,\!</math>
|-
|Arean av en cylinder med höjden ''h'' och radien ''r''
|<math>A = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!</math>
|-
|rowspan="2"|[[Fil:Kon (geometry).png|75px|Kon]]
|Volymen av en [[kon]] med höjden ''h'' och radien ''r''
|<math>V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!</math>
|-
|Arean av en kon med höjden ''h'' och radien ''r''
|<math>A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 =  \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!</math>
|}

180° ([[vinkelgrad|grader]]) motsvarar π [[radian]]er.

=== Analys ===
Talet π är intimt förbundet med de [[komplexa tal]]en, vilket följer av de trigonometriska funktionernas förekomst i [[Eulers formel]] för den komplexa [[exponentialfunktion]]en,
:<math>\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta} = \cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta.\,</math>

Ett specialfall är [[Eulers identitet]],
:<math>\mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi} + 1 = 0,\,</math>
som kallades "den märkligaste formeln inom matematiken" av [[Richard Feynman]] för att den knyter samman fem av de viktigaste talen: 0, 1, [[e (tal)|e]] som är basen för den [[naturliga logaritmen]], den [[imaginära enheten]] i utifrån vilken de komplexa talen definieras, och π. Vidare följer exempelvis av [[residysatsen]] för [[kurvintegral]]er att
:<math>\oint\frac{dz}{z}=2\pi \mathrm{i}</math>

Arean av en kvarts enhetscirkel ges av:
:<math>\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = {\pi \over 4}</math>

===Integraler===
Några [[integral]]formler är

:<math>\int\limits_{-\infty}^{\infty} \text{sech}(x)dx = \pi \!</math>


<math>\int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{t}^{\infty} e^{-1/2t^2-x^2+xt} dxdt = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{t}^{\infty} e^{^-t^2-1/2x^2+xt} dxdt = \pi\!</math>


:<math>\int\limits_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{\pi}{2}\!</math>


:<math>\int\limits_{-1}^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \pi\!</math>


:<math>\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{dx}{1+x^2} = \pi\!</math> 


:<math>\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}\!</math> 


:<math>\int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x}\,dx=\pi \!</math>

:<math>\int\limits_0^1 {x^4(1-x)^4 \over 1+x^2}\,dx = {22 \over 7} - \pi\!</math> 


===Oändliga serier===
* [[Baselproblemet]], först löst av [[Leonhard Euler|Euler]] (se även ''[[Riemanns zetafunktion]]''):
:<math>\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}</math>
:<math>\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}</math>
:Generellt är <math>\zeta(2n)</math> en rationell multipel av <math>\pi^{2n}</math> för det positiva heltalet ''n''.

Andra [[oändlig serie|oändliga serier]] är
:<math>\sum_{k=0}^\infty\frac{k!}{(2k+1)!!}=\sum_{k=0}^\infty\frac{2^k k!^2}{(2k+1)!}=\frac{\pi}{2}\!</math>
:<math>\frac{\sqrt{3}}{6^5} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{((4k)!)^2(6k)!}{9^{k+1}(12k)!(2k)!} \left( \frac{127169}{12k + 1} - \frac{1070}{12k + 5} - \frac{131}{12k + 7} + \frac{2}{12k + 11}\right)=\pi\!</math>
:<math>\frac{1}{2^6} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{{(-1)}^n}{2^{10n}} \left( - \frac{2^5}{4n+1} - \frac{1}{4n+3} + \frac{2^8}{10n+1} - \frac{2^6}{10n+3} - \frac{2^2}{10n+5} - \frac{2^2}{10n+7} + \frac{1}{10n+9} \right)=\pi\!</math>
:<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n - 1}{4^n}\, \zeta(n+1) = \pi\!</math>
:<math>\sum_{n=0}^{\infty} {\left( \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \right) }^1 = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \arctan{1} = \frac{\pi}{4}\!</math> 
:<math>\sum_{n=0}^{\infty} {\left( \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \right) }^2 = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{8}\!</math>
:<math>\sum_{n=0}^{\infty} {\left( \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \right) }^3 = \frac{1}{1^3} - \frac{1}{3^3} + \frac{1}{5^3} - \frac{1}{7^3} + \cdots = \frac{\pi^3}{32}\!</math>
:<math>\sum_{n=0}^{\infty} {\left( \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \right) }^4 = \frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + \frac{1}{7^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{96}\!</math>
:<math>\sum_{n=0}^{\infty} {\left( \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \right) }^5 = \frac{1}{1^5} - \frac{1}{3^5} + \frac{1}{5^5} - \frac{1}{7^5} + \cdots = \frac{5\pi^5}{1536}\!</math>
:<math>\sum_{n=0}^{\infty} {\left( \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \right) }^6 = \frac{1}{1^6} + \frac{1}{3^6} + \frac{1}{5^6} + \frac{1}{7^6} + \cdots = \frac{\pi^6}{960}\!</math>
:<math>\pi = \sqrt{12} \, \left(1-\frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{5 \cdot 3^2} - \frac{1}{7 \cdot 3^3} + \cdots\right)</math>
:<math>\pi=8\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{1}{(4m-2)^{2k}}=4\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{m^2-k^2}{(m^2+k^2)^2}=\sqrt[4\,\,]{360 \sum \limits_{k=1}^{\infty}\sum \limits_{m=1}^k\frac{1}{m(k+1)^3}}</math>.

Några BBP-formler är
: <math>\begin{align}
\pi &= \tfrac12\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac1{16^k}\left(\tfrac8{8k+2} + \tfrac4{8k+3} + \tfrac4{8k+4} - \tfrac1{8k+7}\right)
 \\ &= \tfrac14\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac1{16^k}\left(\tfrac8{8k+1} + \tfrac8{8k+2} + \tfrac4{8k+3} - \tfrac2{8k+5} - \tfrac2{8k+6} - \tfrac1{8k+7}\right)
 \\ &= \;\;\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac{(-1)^k}{4^k}\left(\tfrac2{4k+1} + \tfrac2{4k+2} + \tfrac1{4k+3}\right).
\end{align}</math>

===Oändliga produkter===
[[Wallis produkt]]:
:<math> \prod_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2}{4n^2-1} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{4}{3} \cdot \frac{16}{15} \cdot \frac{36}{35} \cdot \frac{64}{63} \cdots = \frac{\pi}{2}</math> 

[[François Viète|Viètas]] formel:
:<math>\frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdots = \frac2\pi</math>

Övriga produkter är
:<math>\pi= 2\sqrt{3}\prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{\left ( 2k-1 \right )^{\frac 12 -k} \left ( 2k+3 \right )^{k+\frac 12}}{2k+1}\left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k}</math>
:<math>\frac{\pi}{\mathrm{e}}=2 \prod \limits_{k=1}^{\infty}\left (\frac{2k+1}{2k-1} \right )^{2k-1} \left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k} </math>
:<math>\pi \cdot \mathrm{e} = 6 \prod \limits_{k=1}^{\infty}\left ( \frac{2k+3}{2k+1}\right )^{2k+1} \left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k}</math>
:<math>\pi=\frac{3}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{2}{3}\right )^2}</math>
:<math>\pi=\frac{4}{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{3}{4}\right )^2}</math>
:<math>\pi=\frac{6}{5}\cdot \frac{1}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{5}{6}\right )^2}</math>
:<math>\pi=\frac{9}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\prod \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^2+k}{k^2+k+ \frac{2}{9}}</math>
:<math>\pi=\frac{36}{5}\cdot\frac{1}{2}\prod \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^2+k}{k^2+k+ \frac{5}{36}}.</math>

===Övrigt===
* [[Gammafunktion]]en utvärderad vid 1/2:
:<math>\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}</math>

* [[Eulers identitet]]:
:<math>\mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi} = -1</math> 

* [[Stirlings formel]]:
:<math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{\mathrm{e}}\right)^n</math>

och korollariet
<math> \pi = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2^{4n}}{n {2n\choose n}^2} </math>

* Egenskaper hos [[Eulers fi-funktion]] (se även ''[[Fareyföljd]]''):
:<math>\sum_{k=1}^{n} \phi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2</math>
:<math>\sum_{k=1}^{n} \frac {\varphi (k)} {k} \sim \frac{6n}{\pi^2}</math> 

* En formel med det [[aritmetisk-geometriskt medelvärde|aritmetisk-geometriska medelvärdet ]]:
:<math>\pi = \frac{\Gamma\left({1/4}\right)^{4/3} \mathrm{agm}(1, \sqrt{2})^{2/3}}{2}</math> 

* <math>\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n (n\;\bmod\;k) = 1-\frac{\pi^2}{12}\!</math> (där mod är modulofunktionen som ger resten vid division)

* <math> \pi = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{4}{n^2} \sum_{k=1}^n \sqrt{n^2 - k^2}</math>

* <math>\pi= \sqrt{\frac{6}{\lim \limits_{n\to\infty}\prod \limits_{k=1 \atop p_k \in \mathbf{P}}^{n}\,\left ( 1-\frac{1}{p_{k}^2}\right ) }}\quad   </math> 

* <math>\pi=\sqrt{6\ln^2 2+12\ \operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right)}</math>

=== Fysik ===
Heisenbergs [[osäkerhetsprincip]] beskriver att både rörelsemängden och positionen hos en partikel inte kan vara kända med hur stor säkerhet som helst. Följande olikhet gäller:

:<math>\Delta x \ \Delta p \ge \frac{h}{4 \pi}</math>

Med Δ''x'' osäkerhetsintervall för position, Δ''p'' osäkerhetsintervall för rörelsemängd, och ''h'' [[Plancks konstant]].

Inom [[kvantmekanik]]en är omskalningen <math>\frac{h}{2\pi}</math> så vanlig att den givits en egen beteckning ''ħ'', "h-streck" eller Diracs konstant.

Den [[magnetiska konstanten]] ''μ''<sub>0</sub> är inom SI definierad som ''μ''<sub>0</sub> = 4&pi;×10<sup>−7</sup>&nbsp;[[Henry (enhet)|H]]/[[meter|m]]. Värdet är dock beroende av valet av enheter.

== Kedjebråk ==
Den enkla [[kedjebråk]]sframställningen av π börjar [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 1, 1, 2, 2, 2, 2, ...], och uppvisar ingen regelbundenhet. Genom trunkering av kedjebråket fås de rationella approximationerna 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, ... för π, som i respektive ordning ger 0, 2, 4, 6, 9, ... korrekta decimaler.

π kan dock framställas på flera sätt som ett regelbundet generaliserat kedjebråk:

:<math>\pi=\textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \frac{1^2}{2+\textstyle \frac{3^2}{2+\textstyle \frac{5^2}{2+\textstyle \frac{7^2}{2+\textstyle \frac{9^2}{2+\ddots}}}}}}
=3+\textstyle \frac{1^2}{6+\textstyle \frac{3^2}{6+\textstyle \frac{5^2}{6+\textstyle \frac{7^2}{6+\textstyle \frac{9^2}{6+\ddots}}}}}
=\textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \frac{1^2}{3+\textstyle \frac{2^2}{5+\textstyle \frac{3^2}{7+\textstyle \frac{4^2}{9+\ddots}}}}}</math>

== Formler för datorberäkningar ==
De mest effektiva formlerna för att med datorers hjälp beräkna π är i dag följande:

=== Machin-liknande formler ===
Machins formel är i datorernas era fortfarande praktisk för att beräkna π. Dock finns en hel familj av [[Machin-liknande formler]] för π, bestående av liknande summor av arctan-funktionen, varav somliga är mer effektiva än Machins ursprungliga. För det tidigare rekordet på över 1 biljon decimaler (1&nbsp;241&nbsp;100&nbsp;000&nbsp;000) av π, satt 2002 av [[Yasumasa Kanada]] med kollegor vid [[Tokyos universitet]], användes följande Machin-liknande formler med fyra termer:

:<math> \frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}</math>
och
:<math> \frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}</math>

Den ena formeln användes till en första uträkning, den andra för att kontrollera resultatet. Beräkningarna gjordes av en 64-noders [[superdator]] från [[Hitachi (företag)|Hitachi]] med 1 [[terabyte]] minne och kapaciteten att utföra 2 · 10<sup>12</sup> operationer per sekund. Beräkningarna tog 602 timmar. En normal utskrift av alla decimalerna skulle fylla 300 miljoner [[A-format|A4]]-papper.<ref name="maa.org">[https://web.archive.org/web/20030219085432/http://www.maa.org/mathland/mathtrek_12_16_02.html "A Trillion Pieces of Pi" - Mathematical Association of America 16 december 2002]</ref>

Andra Machinliknande formler är

:<math>\frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3}</math> ([[Leonhard Euler|Euler]])

:<math>\frac{\pi}{4} = 2 \arctan\frac{1}{2} - \arctan\frac{1}{7}</math> (Hermann)

:<math>\frac{\pi}{4} = 2 \arctan\frac{1}{3} + \arctan\frac{1}{7}</math> (Hutton)

: <math>
\begin{align}
\frac{\pi}{4} =& 183\arctan\frac{1}{239} + 32\arctan\frac{1}{1023} - 68\arctan\frac{1}{5832}\\
& + 12\arctan\frac{1}{110443} - 12\arctan\frac{1}{4841182} - 100\arctan\frac{1}{6826318}\\
\end{align}
</math> (黃見利 (Hwang Chien-Lih) 1997)

: <math>
\begin{align}
\frac{\pi}{4} =& 183\arctan\frac{1}{239} + 32\arctan\frac{1}{1023} - 68\arctan\frac{1}{5832}\\
& + 12\arctan\frac{1}{113021} - 100\arctan\frac{1}{6826318}\\
& - 12\arctan\frac{1}{33366019650} + 12\arctan\frac{1}{43599522992503626068}\\
\end{align}
</math> (黃見利 (Hwang Chien-Lih) 2003)

: <math>
\begin{align}
\frac{\pi}{4} =& 83\arctan\frac{1}{107} + 17\arctan\frac{1}{1710} - 22\arctan\frac{1}{103697}\\
& - 24\arctan\frac{1}{2513489} - 44\arctan\frac{1}{18280007883}\\
& + 12\arctan\frac{1}{7939642926390344818}\\
& + 22\arctan\frac{1}{3054211727257704725384731479018}\\
\end{align}
</math> (M.Wetherfield 2004).

=== Ramanujans och Chudnovskys serier ===
[[Srinivasa Ramanujan]] upptäckte en mängd oändliga serier för π, exempelvis den snabbt konvergerande
:<math> \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}. </math>

Baserat på Ramanujans resultat upptäckte [[bröderna Chudnovsky]] formeln

:<math> \frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum^\infty_{k=0} \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}} </math>

som de använde för att slå flera beräkningsrekord i slutet av 1980-talet, inklusive att 1989 komma först över en miljard decimaler av π. Chudnovskys formel används idag exempelvis av programmen [[Mathematica]] och [[PiFast|Pifast]] för att beräkna π.

=== Iterationer ===
Två [[iteration]]er för att beräkna π är [[Brent–Salamins algoritm]] och [[Borweins algoritm]]. Borweins [[algoritm]] går exempelvis ut på att sätta (Brent–Salamins algoritm har en liknande form)

:<math>a_1 = 6 - 4\sqrt{2},</math>
:<math>y_1 = \sqrt{2} - 1,</math>
och sedan iterera

:<math>y_{k+1} = \frac{1-(1-y_k^4)^{1/4}}{1+(1-y_k^4)^{1/4}}</math>
:<math>a_{k+1} = a_k(1+y_{k+1})^4 - 2^{2k+3} y_{k+1} (1 + y_{k+1} + y_{k+1}^2)</math>
tills önskad noggrannhet uppnåtts och uppskattningen av π därefter ges av 1/''a<sub>n</sub>''. Fördelen med dessa iterationer gentemot ovan nämnda summationer är att deras [[Konvergens (matematik)|konvergens]] är [[superlinjär]] (Se [[exponentiell]]): antalet korrekta siffror som läggs till vid varje steg inte är konstant utan ökar. Brent–Salamins algoritm har ''kvadratisk'' konvergens, vilket innebär att antalet korrekta siffror fördubblas varje steg – Borweins algoritm till och med fyrfaldigar antalet siffror. Nackdelen är att [[Rot (till ekvation)|rötterna]] som ingår är tidskrävande att beräkna. Brent–Salamins och Borweins algoritmer användes 1999 för att beräkna respektive kontrollera 206&nbsp;158&nbsp;430&nbsp;000 decimaler av π, vilket då var ett nytt rekord.

=== Direkt bestämning av siffror ===
[[David H. Bailey]], [[Peter Borwein]] och [[Simon Plouffe]] hittade år 1995 en formel som gör det möjligt att direkt beräkna en godtycklig siffra i π:s [[binära talsystemet|binära representation]] utan att först behöva beräkna de föregående. De binära siffrorna kan översättas till motsvarande i baserna 4, 8, 16 och så vidare (dock ej till 10 för att få fram decimalerna):

:<math>\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)</math>

Formeln är känd som [[BBP-formeln]], och flera liknande formler har härletts för π såväl som för andra konstanter. En mer effektiv version, [[Bellards formel]], användes av det [[distribuerad beräkning|distribuerade]] projektet [[PiHex|Pihex]] för att år 2000 beräkna 64 binära siffror i följd omkring den tusenbiljonte (som råkar vara 0).

Simon Plouffe upptäckte 1997 även en algoritm för att beräkna den ''n'':te decimalen av π direkt, men den är dessvärre så långsam att den bara är praktisk för ''n'' upp till några tusen. En förbättring av [[Fabrice Bellard]] gör metoden praktisk för ''n'' upp till några miljoner, och [[Xavier Gourdon]] har hittat en metod som är ytterligare något snabbare. Trots dessa framsteg är det snabbaste sättet att bestämma den ''n'':te decimalen fortfarande att beräkna π med alla föregående siffror och plocka ut den sista.<ref>{{Webbref |url = http://numbers.computation.free.fr/Constants/Algorithms/nthdigit.html |titel = N-th digit computation |språk = engelska |datum = 12 februari 2003}} ([http://numbers.computation.free.fr/Constants/Algorithms/nthdigit.pdf PDF-version])</ref>

== Mindre exakta uppskattningar ==
En referens till π finns i [[Gamla testamentet]] i [[Bibeln]]:
:''Han gjorde vidare Havet i gjutgods. Det var cirkelrunt och mätte tio alnar från kant till kant; det var fem alnar högt och 30 alnar i omkrets.'' [[wikisource:sv:Bibeln_1917/Första_Konungaboken#7:23|1 Kung 7:23]] ([[Första Kungaboken]])
Många skeptiker anser att enligt detta påstående skall π vara exakt 3, vilket de poängterat då de kritiserat Bibelns riktighet. Ekvationen diameter=10, omkrets=30 tillfredsställs dock av alla värden på diameter mellan 9,5 och 9,708 vid avrundning till närmaste heltal. En annan förklaring som cirka år 150 framfördes av den [[Hebréer|hebreiska]] rabbin och matematikern Nehemiah är att diametermåttet skulle kunna avse avståndet mellan ytterkanterna medan omkretsen mättes längs innerkanten. 

En alternativ tolkning av bibeltexten ifråga är att mätetalet 30 avser det cylinderformade "Havets" rektangulära vertikala omkrets (eller "omfång" som det heter i 1917 års översättning), dvs 10+5+10+5, snarare än dess cirkulära horisontella omkrets 10π.{{Källa behövs|WP:OVIKT?|datum=2012-02-13}}

En läkare och amatörmatematiker vid namn Edward J. Goodwin från delstaten [[Indiana]] i [[USA]] trodde att π:s transcendenta värde var felaktigt, och lade 1897 fram ett förslag ofta kallat {{ILL|en|Indiana Pi Bill}} på att bland annat lagstifta följande "nya matematiska sanningar":

:''Förhållandet mellan en cirkels diameter och omkrets är 5/4 till 4.'' (π = 3,2)
:''Förhållandet mellan längden på en 90 graders cirkelbåge och avståndet mellan dess ändpunkter är 8 till 7.'' (π ≈ 3,23)
:''Arean på en cirkel är lika med arean på en kvadrat vars sida är 1/4 av cirkelns omkrets.'' (π = 4)
Lagförslaget skickades på remiss till den delstatliga utbildningskommittén som rekommenderade att det skulle godkännas. Av en slump råkade en professor C. A. Waldo dock befinna sig i [[Indianapolis]] vid tillfället, och lyckades efter att ha fått reda på förslaget övertala kommittén att rösta ner det. Lagstiftande församlingen har sedan aldrig tagit upp ärendet, och slipper därigenom att ta ställning till förslaget.

År 1998 spreds uppgifter på Internet om att delstaten [[Alabama]] skulle ha lagfäst π:s värde till det "bibliska värdet" 3,0. Nyheten var i själva verket ett [[aprilskämt]] som parodierade ovan nämnda fall samt [[kreationism|kreationisters]] försök att i [[New Mexico]] motarbeta undervisningen om [[evolution]]steorin. Artikeln skrevs av en fysiker vid namn Mark Boslough.

Några andra approximationer är:

* tre korrekta decimaler:
:: <math>\sqrt{2} + \sqrt{3} = 3.146^+</math>
:: <math>\sqrt{15} - \sqrt {3} + 1 = 3.140^+</math>

* fyra korrekta decimaler:
::<math>\sqrt[3]{31} = 3.1413^+</math>

* fyra korrekta decimaler:
::<math>\sqrt{7+\sqrt{6+\sqrt{5}}} = 3.1416^+</math><ref>[https://web.archive.org/web/20110706215615/http://www.mschneider.cc/papers/pi.pdf A nested radical approximation for &pi;]</ref>

* en approximation av [[Srinivasa Aiyangar Ramanujan]], fyra korrekta decimaler:
::<math>\frac{9}{5}+\sqrt{\frac{9}{5}} = 3.1416^+</math>

* fem korrekta decimaler:
::<math>\frac{7^7}{4^9} = 3.14156^+</math>

* sju korrekta decimaler:
::<math>\frac{355}{113} = 3.14159\ 29^+</math>

* en approximation av Ramanujan, nio korrekta decimaler:
:: <math> \sqrt[4]{3^4+2^4+\frac{1}{2+(\frac{2}{3})^2}}  =\sqrt[4]{\frac{2143}{22}} = 3.14159\ 2652^+</math>

* tio korrekta decimaler:
::<math>\frac{63}{25} \times \frac{17 + 15\sqrt{5}}{7 + 15\sqrt{5}} = 3.14159\ 26538^+</math>

* tio korrekta decimaler:
::<math>\sqrt[193]{\frac{10^{100}}{11222.11122}} = 3.14159\ 26536^+</math>

* 18 korrekta decimaler:
::<math>\frac{80\sqrt{15}(5^4+53\sqrt{89})^\frac{3}{2}}{3308(5^4+53\sqrt{89})-3\sqrt{89}}</math>

* 30 korrekta decimaler:
::<math>\frac{\ln(640320^3+744)}{\sqrt{163}} = 3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 83279^+</math>

* 52 korrekta decimaler:
::<math>\frac{\ln(5280^3(236674+30303\sqrt{61})^3+744)}{\sqrt{427}}</math>

* 161 korrekta decimaler:
::<math>\frac{\ln\big((2u)^6+24\big)}{\sqrt{3502}}</math>

:där ''u'' definieras som

:<math>u = (a+\sqrt{a^2-1})^2(b+\sqrt{b^2-1})^2(c+\sqrt{c^2-1})(d+\sqrt{d^2-1})</math>

:och

:<math>\begin{align}
a &= \tfrac{1}{2}(23+4\sqrt{34})\\
b &= \tfrac{1}{2}(19\sqrt{2}+7\sqrt{17})\\
c &= (429+304\sqrt{2})\\
d &= \tfrac{1}{2}(627+442\sqrt{2})
\end{align}</math>.

== π-kultur ==
=== Populärkultur ===
Talet π är ett av få matematiska objekt som regelbundet dyker upp i [[populärkultur]]en.

Framför allt har ett flertal [[science fiction]]-författare hänvisat till talet och dess fysikaliska eller [[metafysik|metafysiska]] implikationer. [[Arthur C. Clarke]] och [[Stephen Baxter]] beskriver exempelvis i ''[[Time's Eye]]'' en värld skapad av utomjordingar där en sfär har omkrets–diameter-förhållandet 3, och i ''[[Eon (bok)|Eon]]'' av [[Greg Bear]] utnyttjas π för att beräkna [[rymdens krökning]]. I [[Carl Sagan]]s roman ''[[Contact (roman)|Contact]]'', som även filmatiserats, upptäcker huvudkaraktären att ett meddelande från universums skapare finns invävt i π – synligt då talet uttrycks i [[undecimala talsystemet]].

I ''[[Star Trek]]''-avsnittet ''Wolf in the Fold'' tar ett ondskefullt väsen över rymdskeppets dator, med vars hjälp det hotar att förgöra besättningen. [[Mr. Spock|Spock]] beordrar då datorn att med högsta prioritet "beräkna π till den sista decimalen", vilket försätter den i en [[oändlig loop]] som gör den obrukbar för fienden. Omvänt utbrister [[John Frink|professor Frink]] i ett avsnitt av ''[[The Simpsons]]'' att "π är exakt 3!" för att få full uppmärksamhet i ett rum fyllt av forskare.

Sångerskan [[Kate Bush]] sjunger på sitt album ''[[Aerial (musikalbum)|Aerial]]'' en låt med titeln "π", vars text består av mer än 100 decimaler av π. Hennes fans har dock noterat att flera av decimalerna är felaktiga. [[Matte Matik]] hade då redan spelat in sin "Decimaler på pi", och även han gör fel och tappar bort sig "någonstans mellan 75 och 85".<ref>{{Webbref |url=http://www.helgo.net/gavel/matte/mattemusik.html |titel=Matte Matiks musik |hämtdatum=2006-08-08 |arkivdatum=2006-08-22 |arkivurl=https://web.archive.org/web/20060822165856/http://www.helgo.net/gavel/matte/mattemusik.html }}</ref>

Det finns också en [[Pi (film)|film med titeln ''π'']], regisserad av [[Darren Aronofsky]], som behandlar sambandet mellan tal och naturen.

=== Anhängare ===
[[Fil:Pi_pie2.jpg|miniatyr|[[Pi-dagen]] firas med [[paj]] (som på bilden), alternativt med [[pizza]], eftersom bakverken delar uttal med pi på engelska (''pie'' respektive ''pizza pie'').<ref>{{webbref |url=http://www.exploratorium.edu/pi |titel=What Is Pi Day? |hämtdatum=9 mars 2009 |år=2009 |utgivare=San Francisco's Exploratorium |språk=engelska}}</ref>]]

Beundrare av talet π brukar uppmärksamma den [[14 mars]] som [[pi-dagen]] eftersom dagen i amerikanskt datumformat skrivs 3/14 och kommer från att pi ofta avrundas till 3,14. Pi-approximationsdagen firas [[22 juli]] eftersom 22/7 är en bra approximation, till och med något bättre än 3,14.

Det har blivit en tävling att kunna [[minne|memorera]] så många siffror av π som möjligt. Ett halvseriöst ämnesområde, känt som [[pifilologi]], behandlar användandet av [[minnesregel|minnesregler]] för att memorera π.

Det finns en rekordlista för pi-memoreringar (se externa länkar nedan). Där finns under ''NEWS'' ett verifierat rekord av Chao Lu från Kina som den [[20 november]] [[2005]] ur minnet lyckades räkna upp π med {{formatnum:67890}} decimaler. Dessutom finns ett overifierat rekord av japanen Akira Haraguchi som, 60 år gammal den [[3 oktober]] [[2006]], lyckades räkna upp de första {{Formatnum:100000}} decimalerna i π. Han slog med detta sitt gamla världsrekord från 2005 på {{formatnum:83431}} decimaler.

Det svenska rekordet är för närvarande (2020) på drygt {{formatnum:24063}} decimaler och innehas av [[Jonas von Essen]].<ref>{{Webbref|url=https://feber.se/vetenskap/jonas-von-essen-slog-rekord-i-pi-decimal-rakning/408610/|titel=Jonas von Essen slog rekord i Pi-decimal-räkning - Europa-rekordet slogs på Tekniska Museet i helgen|hämtdatum=2020-03-09|utgivare=Feber|författare=Wille Wilhelmsson|datum=2020-03-09}}</ref>

[[Daniel Tammet]] har ett så kallat [[savant syndrom]] och har memorerat π till {{Formatnum:22514}} decimaler. Han rabblade upp alla siffror korrekt på 5:09:24. "Det tog några veckor att lära sig!", sade han efteråt. En annan savant är [[Rüdiger Gamm]]. Han har lagt {{formatnum:5000}} decimaler på minnet.<ref>[https://web.archive.org/web/20080615180508/http://www.admin.ox.ac.uk/po/news/2003-04/mar/15.shtml Pi memory feat]</ref><ref>[http://www.pi-world-ranking-list.com/lists/details/tammet.html Pi World Ranking List] {{Wayback|url=http://www.pi-world-ranking-list.com/lists/details/tammet.html |date=20101106112136 }}</ref>

[[Nobelpriset i fysik|Nobelpristagaren]] i fysik [[Richard Feynman]], känd för sitt intresse för [[huvudräkning]], anmärkte en gång att han ville memorera π till den 767:e decimalen. Anledningen är att decimalerna 762 till och med 767 samtliga är nior, och att han då skulle kunna avsluta uppräkningen med "''...nio, nio, nio, nio, nio, nio, och så vidare''."

''Pi – det fantastiska talet'', är en bok (författare David Blatner, 1997) med fakta och anekdoter om π från alla tider; {{ISBN|91-7738-482-2}}. Bokens engelska original heter ''The Joy of Pi'' och har en egen webbplats för pi-fantaster (se externa länkar nedan). I boken finns ett kapitel om de ovannämnda bröderna [[Chudnovsky]] som inte bara fann nya formler för pi-beräkning, utan dessutom hemmabyggde en egen superdator med [[Flops|gigaflop-prestanda]].

== Se även ==
* [[Pi-dagen]]
* [[Cirkelns kvadratur]]
* [[Feynmanpunkten]]

== Referenser ==
* {{Enwp|url=http://en.wikipedia.org/wiki/Pi}}
<!--* [http://www2.math.su.se/matematik/exempel/tal/pi.html Hur beräknar man pi?] Död länk -->

=== Noter ===
<references />

=== Allmänna källor ===
* {{Bokref |efternamn = Arndt |förnamn = Jörg |efternamn2 = Haenel |förnamn2 = Christoph |titel = Pi Unleashed |utgivare = Springer-Verlag |år = 2006 |isbn = 978-3-540-66572-4 <!--isbn only volume 1--> |url = http://books.google.com/?id=QwwcmweJCDQC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false |ref = harv |hämtdatum = 5 juni 2013 }} English translation by Catriona and David Lischka.
* {{Bokref |efternamn = Ayers |förnamn = Frank |titel = Calculus |utgivare = McGraw-Hill |år = 1964 |isbn = 978-0-070-02653-7 |ref = harv }}
* {{Bokref |efternamn = Berggren |förnamn = Lennart |efternamn2 = Borwein |förnamn2 = Jonathan |author2-link = Jonathan Borwein |efternamn3 = Borwein |förnamn3 = Peter |author3-link = Peter Borwein |titel = Pi: a Source Book |utgivare = Springer-Verlag |år = 1997 |isbn = 978-0-387-20571-7 |ref = harv }}
* {{Bokref |efternamn = Beckmann |förnamn = Peter |titel = History of Pi |utgivare = St. Martin's Press |år = 1989 |origår = 1974 |isbn = 978-0-88029-418-8 |ref = harv }}
* {{Bokref |efternamn = Borwein |förnamn = Jonathan |author1-link =  |efternamn2 = Borwein |förnamn2 = Peter |author2-link =  |titel = Pi and the AGM: a Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity |utgivare = Wiley |år = 1987 |isbn = 978-0-471-31515-5 |ref = harv }}
* {{Bokref |efternamn = Boyer |förnamn = Carl B. |efternamn2 = Merzbach |förnamn2 = Uta C. |år = 1991 |titel = A History of Mathematics |upplaga = 2 |utgivare = Wiley |isbn = 978-0-471-54397-8 |ref = harv }}<!-- Year from ISBN. Original citatation was just to Boyer. Possible that edition is wrong and therefore page is wrong. Editions: Boyer 1968, Boyer/Merzbach 1989, Boyer/Merzbach 1991, Merzbach/Boyer 2010, Merzbach/Boyer 2011. Verify second: Hui and 3072-sided polygon is on cited page 202 of 1991 edition; page 228 of 1968 edition. Google snippet has a hit for 3.1456 on page 168 for 1991, but does not show the number. -->
* {{Bokref |efternamn = Bronshteĭn |förnamn = Ilia |efternamn2 = Semendiaev |förnamn2 = K. A. |titel = A Guide Book to Mathematics |utgivare = H. Deutsch |år = 1971 |isbn = 978-3-871-44095-3 |ref = harv }}
* {{Bokref |efternamn = Eymard |förnamn = Pierre |efternamn2 = Lafon |förnamn2 = Jean Pierre |titel = The Number Pi |utgivare = American Mathematical Society |år = 1999 |isbn = 978-0-8218-3246-2 |ref = harv }}, engelsk översättning av Stephen Wilson.
* {{Bokref |efternamn = Joseph |förnamn = George Gheverghese |titel = The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics |utgivare = Princeton University Press |år = 1991 |isbn = 978-0-691-13526-7 |url = http://books.google.com/?id=c-xT0KNJp0cC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false%7C |ref = harv |hämtdatum = 5 juni 2013 }}<!-- This ISBN is for the third edition from 2011! -->
* {{Bokref |efternamn = Posamentier |förnamn = Alfred S. |efternamn2 = Lehmann |förnamn2 = Ingmar |titel = Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number |utgivare = Prometheus Books |år = 2004 |isbn = 978-1-59102-200-8 |ref = harv }}
* {{tidskriftsref |efternamn=Reitwiesner |förnamn=George |rubrik=An ENIAC Determination of pi and e to 2000 Decimal Places |tidskrift=Mathematical Tables and Other Aids to Computation |år=1950 |volym=4 |nummer=29 |sid=11–15 |doi=10.2307/2002695 |ref=harv | issn = 0891-6837 }}
* {{tidskriftsref |efternamn=Roy |förnamn=Ranjan |rubrik=The Discovery of the Series Formula for pi by Leibniz, Gregory, and Nilakantha |tidskrift=Mathematics Magazine |volym=63 |nummer=5 |år=1990 |sid=291–306 |doi=10.2307/2690896 |ref=harv}}
* {{tidskriftsref |efternamn=Schepler |förnamn=H. C. |rubrik=The Chronology of Pi |tidskrift=Mathematics Magazine |utgivare=Mathematical Association of America |år=1950 |volym=23 |nummer=3 |sid=165–170 (Jan/Feb), 216–228 (Mar/Apr), och 279–283 (May/Jun) |doi=10.2307/3029284 |ref=harv}}. [<!-- http://www.jstor.org/stable/3029284 -->http://www.jstor.org/discover/10.2307/3029284 issue 3 Jan/Feb], [http://www.jstor.org/stable/3029832 issue 4 Mar/Apr], [http://www.jstor.org/stable/3029000 issue 5 May/Jun]

== Externa länkar ==
* {{Commonscat|Pi}}
* [https://web.archive.org/web/20130223211819/http://www.lysator.liu.se/~tb/pi.50000.html {{Formatnum:50000}} pi-decimaler]
* [https://web.archive.org/web/20090225000119/http://pi-world-ranking-list.com/lists/index.html Rekordlista för pi-memoreringar]
* [http://www.joyofpi.com PiSpirals – webbplats för pi-fantaster]
* [http://www.mittag-leffler.se/sites/default/files/abrahams%20gymn.pdf Två formler för talet π]
* [https://www.youtube.com/shorts/pgGrQjYcm5A Pi genom pizza (Pi för idioter)]

{{Irrationella tal}}

{{auktoritetsdata}}

[[Kategori:Matematiska konstanter]]
[[Kategori:Irrationella tal]]
[[Kategori:Transcendenta tal]]
[[Kategori:Wikipedia:Basartiklar]]
[[Kategori:Pi| ]]