Visa källa för Paraxiell

[[Fil:Taylor Approximation of sin(x).jpeg|miniatyr|Taylorapproximationer av olika ordning (första ordningen grön, tredje blå, femte orange och sjunde grå) för sinus (röd kurva).]]
En '''paraxiell approximation''' är inom [[geometrisk optik]] en approximation för små vinklar som bygger på [[taylorutveckling]]en av de [[trigonometriska funktioner|trigonometriska funktionerna]] och en '''paraxiell stråle'''<ref>''Eriterm : femspråkig ordlista för telekommunikation : svenska, engelska, franska, spanska, tyska'', Ericsson Telecom AB 1992, [https://runeberg.org/eriterm/0413.html sid. 401].</ref> är en ljusstråle som avviker så lite från ett optiskt systems [[optisk axel|axel]] att paraxiell approximation kan tillämpas.

Inom '''paraxiell optik''', även kallad '''gaussoptik''' (efter [[Carl Friedrich Gauss]]) eller '''optik av första ordningen/graden''', ersätts de trigonometriska funktionerna med:

:<math>\sin \theta \approx \theta \quad \tan \theta \approx \theta \quad \cos \theta \approx 1.</math>

där <math>\theta</math> är den vinkel, uttryckt i [[radian]]er, som strålen bildar mot den optiska axeln.

Stundom avses med paraxiell approximation även approximationer av andra ordningen<ref>Med "ordning" avses att man tar med termer i utvecklingarna till och med den [[potens (matematik)|grad]] (potens) de har. Optik av tredje ordningen innebär att man för sinus och tangens tar med termen av grad tre, sålunda: <math> \sin \theta \approx \theta - { \theta^3 \over 6 }</math> och <math> \tan \theta \approx \theta + { \theta^3 \over 3 }</math>. I fjärde ordningen tillkommer en fjärdegradsterm för cosinus - och så vidare...</ref>, det vill säga:

:<math>\sin \theta \approx \theta \quad \tan \theta \approx \theta \quad \cos \theta \approx 1 - { \theta^2 \over 2 }.</math>

där termerna av andra graden i taylorutvecklingen tagits med (andragradstermer saknas i taylorutvecklingarna för sinus och tangens). 

Approximationer av första ordningen ger ett fel på mindre än en procent vid en avvikelse (<math>\theta</math>) under åtta grader<ref>Eftersom det största felet ges av <math>\arccos 0,99 \approx 8,11^\circ</math>. För sinus är på motsvarande sätt procentgränsen 14° och för tangens 10°.</ref> och mindre än en promille vid en avvikelse under 2,6°. Andra ordningens approximationer flyttar dock inte gränserna nämnvärt - procentgränsen går vid 10° och promillegränsen vid 3,2°.<ref>Men som jämförelse kan noteras att approximationer av tredje ordningen ger ett fel på högst en tiondels promille vid 10° (för tangens - för sinus vid 19° och för cosinus vid 14°).</ref>

Den optik som ingår i elementär utbildning är helt och hållet paraxiell, medan verkligheten uppvisar avvikelser från gaussoptiken som, i stort sett, sammanfattas under beteckningen [[aberration (optik)|aberration]]er<ref>[[Kromatisk aberration]] utgör ett undantag eftersom denna beror på skillnader i [[brytningsindex]] för ljus av olika våglängder och inte på approximationer av vinklar.</ref>.

{|
|[[Fil:Small angle compair odd.svg|miniatyr|400px|<math>y=x</math> (röd), <math>y=\sin x</math> (grön) och <math>y=\tan x</math> (blå) för vinklar upp til en radian (57,3°).]]
|[[Fil:Small angle compare even.svg|miniatyr|400px|<math>y=\cos x</math> (röd) och <math>y = 1 - { x^2 \over 2 }</math> (grön).]]
|}

==Referenser och noter==
*[[Eric W. Weisstein]], [http://scienceworld.wolfram.com/physics/ParaxialApproximation.html Paraxial approximation] på Wolfram MathWorld.
<references/>

[[Kategori:Geometrisk optik]]