Visa källa för Oktonion

'''Oktonionerna''' är en icke-[[associativitet|associativ]] utvidgning av [[kvaternion]]erna.
De upptäcktes av [[John T. Graves]] år [[1843]], och oberoende av [[Arthur Cayley]], som [[1845]] publicerade det första arbetet om dem.

De kallas ibland '''Cayleytal''' eller '''Cayleys algebra'''.

Mängden av oktonioner betecknas 𝕆 eller '''O'''.

Oktonionerna bildar en 8-dimensionell [[algebra]] över de [[reella tal|reella talen]], och kan därför ses som oktetter av reella tal.

Varje oktonion är en reell [[linjärkombination]] av enhetsoktonionerna 1, ''e''<sub>1</sub>, ''e''<sub>2</sub>, ''e''<sub>3</sub>, ''e''<sub>4</sub>, ''e''<sub>5</sub>, ''e''<sub>6</sub> och ''e''<sub>7</sub>, vars [[multiplikationstabell]] ser ut som följer.

{| border cellspacing="0" cellpadding="5" bgcolor="#DDEEFF"
|-----
| align="center" bgcolor="#FFFFFF" | ·
| align="center" bgcolor="#EEEEEE" | 1
| align="center" bgcolor="#EEEEEE" | e<sub>1</sub>
| align="center" bgcolor="#EEEEEE" | e<sub>2</sub>
| align="center" bgcolor="#EEEEEE" | e<sub>3</sub>
| align="center" bgcolor="#EEEEEE" | e<sub>4</sub>
| align="center" bgcolor="#EEEEEE" | e<sub>5</sub>
| align="center" bgcolor="#EEEEEE" | e<sub>6</sub>
| align="center" bgcolor="#EEEEEE" | e<sub>7</sub>
|-----
| align="center" bgcolor="#EEEEEE" | 1
| align="center" | 1 || align="center" | e<sub>1</sub>
| align="center" | e<sub>2</sub>
| align="center" | e<sub>3</sub> || align="center" | e<sub>4</sub>
| align="center" | e<sub>5</sub>
| align="center" | e<sub>6</sub> || align="center" | e<sub>7</sub>
|-----
| align="center" bgcolor="#EEEEEE" | e<sub>1</sub>
| align="center" | e<sub>1</sub> || align="center" | -1
| align="center" | e<sub>4</sub>
| align="center" | e<sub>7</sub> || align="center" | -e<sub>2</sub>
| align="center" | e<sub>6</sub>
| align="center" | -e<sub>5</sub> || align="center" | -e<sub>3</sub>
|-----
| align="center" bgcolor="#EEEEEE" | e<sub>2</sub>
| align="center" | e<sub>2</sub> || align="center" | -e<sub>4</sub>
| align="center" | -1
| align="center" | e<sub>5</sub> || align="center" | e<sub>1</sub>
| align="center" | -e<sub>3</sub>
| align="center" | e<sub>7</sub> || align="center" | -e<sub>6</sub>
|-----
| align="center" bgcolor="#EEEEEE" | e<sub>3</sub>
| align="center" | e<sub>3</sub> || align="center" | -e<sub>7</sub>
| align="center" | -e<sub>5</sub>
| align="center" | -1 || align="center" | e<sub>6</sub>
| align="center" | e<sub>2</sub>
| align="center" | -e<sub>4</sub> || align="center" | e<sub>1</sub>
|-----
| align="center" bgcolor="#EEEEEE" | e<sub>4</sub>
| align="center" | e<sub>4</sub> || align="center" | e<sub>2</sub>
| align="center" | -e<sub>1</sub>
| align="center" | -e<sub>6</sub> || align="center" | -1
| align="center" | e<sub>7</sub>
| align="center" | e<sub>3</sub> || align="center" | -e<sub>5</sub>
|-----
| align="center" bgcolor="#EEEEEE" | e<sub>5</sub>
| align="center" | e<sub>5</sub> || align="center" | -e<sub>6</sub>
| align="center" | e<sub>3</sub>
| align="center" | -e<sub>2</sub> || align="center" | -e<sub>7</sub>
| align="center" | -1
| align="center" | e<sub>1</sub> || align="center" | e<sub>4</sub>
|-----
| align="center" bgcolor="#EEEEEE" | e<sub>6</sub>
| align="center" | e<sub>6</sub> || align="center" | e<sub>5</sub>
| align="center" | -e<sub>7</sub>
| align="center" | e<sub>4</sub> || align="center" | -e<sub>3</sub>
| align="center" | -e<sub>1</sub>
| align="center" | -1 || align="center" | e<sub>2</sub>
|-----
| align="center" bgcolor="#EEEEEE" | e<sub>7</sub>
| align="center" | e<sub>7</sub> || align="center" | e<sub>3</sub>
| align="center" | e<sub>6</sub>
| align="center" | -e<sub>1</sub> || align="center" | e<sub>5</sub>
| align="center" | -e<sub>4</sub>
| align="center" | -e<sub>2</sub> || align="center" | -1
|}


Multiplicering mellan två olika enhetsoktonioner (≠ 1) kan visualiseras med följande schema.

'''Oktonionstjärna'''

[[File:Octonionstar.png]]

Sök triangeln där enheterna är i hörn.

Deras produkt i riktningen för pilen ger triangels tredje enhet och produkt i motsatta riktningen ger minus tredje enhet. 

Exempel: e<sub>4</sub>e<sub>6</sub>= e<sub>3</sub> och e<sub>6</sub>e<sub>4</sub> = -e<sub>3</sub>.



==Egenskaper ==
Oktonionmultiplikation är inte [[kommutativitet|kommutativt]]
:<math>e_ie_j = -e_je_i \neq e_je_i\,</math> om <math>i, j \neq 0</math>
och inte heller [[associativitet|associativt]]
:<math>(e_ie_j)e_k = -e_i(e_je_k) \neq e_i(e_je_k)\,</math> om <math>i, j, k</math> är distinkta och inte noll.
Oktonionerna har dock en svagare egenskap: delalgebran genererad av vilka som helst två oktonioner är associativt. Det går även att visa delalgebran genererad av vilka som helst två element av '''O''' är [[isomorfi]]sk till '''R''', '''C''' eller  '''H''', av vilka alla är associativa. Eftersom oktonionerna är oassociativa har de inte en matrisrepresentation, tvärtemot [[kvaternion]]erna. 
Oktonionerna satisfierar en viktig egenskap som '''R''', '''C''' och '''H''' delar på: normen av '''O''' satisfierar
:<math>\|xy\| = \|x\|\|y\|.</math>
Av det här följer att oktonionerna bildar en oassociativ [[normerad algebra| normerad divisionalgebra]]. Algebror med högre dimension definierade med hjälp av [[Cayley–Dicksons konstruktion]] (såsom [[sedenion]]erna) saknar den egenskapen.

Man kan visa att de enda normerade divisionalgebrorna över ''R'' är '''R''', '''C''', '''H''' och '''O'''. 

De nollskilda elementen av ''O'' bildar inte en grupp eftersom de inte är associativa. De bildar dock en [[loop (matematik)|loop]], och även en [[Moufangloop]].

==Se även==
* [[Hyperkomplexa tal]]

== Tryckta källor ==
* {{Citation
 | last1=Lahti
 | first1=Usko
 | title=Prof. Corvus Adamas: Luvut ja todistusmenetelmät. Johdanto matematiikan perusteisiin innokkaiden opiskelijoiden seurassa.
 | publisher=Books on Demand
 | place=Helsinki
 | publication-date = 20.3.2015
 | isbn =978-952-318-558-6
}}

== Externa länkar ==
* {{Commonscat|Octonions}}
* [https://web.archive.org/web/20081009232658/http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/ Oktonionerna] - en artikel av [[John Baez|John C. Baez]] {{En ikon}}
<!---* [http://www.stud.ux.his.no/~onar/Octonion.html Oktonionfraktaler] - [[fraktal]]er genererade med oktonioner (på engelska)--->

{{Tal}}


[[Kategori:Hyperkomplexa tal]]
[[Kategori:Åttal]]