Visa källa för Numerisk analys

'''Numerisk analys''' eller '''beräkningsvetenskap''' är en gren inom [[matematik]]en och [[datavetenskap]]en där lösningar fås med hjälp av [[Numerisk|numeriska]] beräkningar; läran om konstruktion och analys av [[algoritm]]er. Till skillnad från vanlig [[matematisk analys]], den analytiska, utgår numeriken från analytiska uppställningar som kan delas in i stegintervall, [[diskretisering|diskretiseras]], för att lösas.<ref name="ne"/>

Numeriken begränsas av de fel denna diskretisering medför, samt de problem som kommer från den analytiska uppställningen. En tredje felkälla är de [[avrundningsfel]] som uppstår på grund av [[dator]]ernas oförmåga att representera godtyckliga [[reella tal]]. Avrundningsfelen är i många tillämpningar försumbara då man använder [[flyttal]] i dubbel precision, men den numeriska analysen tar hänsyn till situationer där så inte nödvändigtvis är fallet.

== Historik ==
Även om matematik alltid har använts, var den först inriktad på att lösa rent praktiska behov.{{förtydliga här |'Alltid' innefattar väl förhistorisk tid. Hur kan vi veta vad den först användes till? Och vad menas med matematik i det sammanhanget? |månad=2017-02}} [[Liu Hui]] kom exempelvis [[263]] på en metod att lösa [[linjärt ekvationssystem|linjära ekvationssystem]], så kallad [[Gausselimination]].{{förtydliga här|Om detta ges som exempel på praktiska behov bör väl det praktiska behovet nämnas.|månad=2017-02}} Med [[Nya tiden]] behövdes precisa positionsbestämningar, och lösningar med [[differens]]er, [[interpolation]], [[extrapolation]], med mera, utarbetades. Matematiker som [[Henry Briggs]], [[Isaac Newton]] och [[Leonhard Euler]] ägnade alla mycket tid åt numeriska beräkningar. Under den tid som följde revolutionerade flera stora matematiska namn matematiken; [[Joseph Louis Lagrange]], [[Pierre Simon de Laplace|Laplace]], [[Legendre]], [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]], och så vidare.<ref name="ne2"/>

Under 1800-talet utvecklades de numeriska beräkningarna än mer. [[Carl Gustav Jacobi]] utarbetade en metod för [[Egenvärde, egenvektor och egenrum|matrisegenvärden]], som på nytt började användas igen med de första datorerna 100 år senare. [[J.C. Adams]] angav en metod för att lösa ordinära [[differentialekvation]]er, exempelvis. Under 1900-talet försökte man lösa partiella differentialekvationer genom numerisk beräkning. [[Lewis Fry Richardson]] och [[Richard Courant]] blev stora namn inom området.<ref name="ne2"/>

Även om de flesta metoder utvecklades av personer som Newton, Euler och Gauss m.fl., brukar man tillskriva införandet av [[dator]]er som den främsta orsaken till dess{{förtydliga här |Den numeriska analysens? |månad=2017-02}} spridning. De första datorerna efter [[andra världskriget]] användes för att beräkna skjuttabeller och bombers sprängverkan. Personer som var viktiga inom denna nya gren var exempelvis [[John von Neumann]] och [[James Hardy Wilkinson]].<ref name="ne2"/>

===Numerisk analys i Sverige===

I Sverige gjordes stora insatser för att etablera numerisk analys som en akademisk disciplin under 1950- och 1960-talet av [[Carl-Erik Fröberg]] och [[Germund Dahlquist]]. Våren år 1956 deltog två studenter i den första kursen i numerisk analys vid Lunds Universitet, och detta var sannolikt den första kursen i numerisk analys i Sverige. Den enda som tenterade kursen var Kai Holmgren som sannolikt även var den första som avlade kandidatexamen i numerisk analys den 6 juni 1957.<ref name="smil50">{{webbref |url=http://www.lth.se/digitalth/smil/ |titel=SMIL 50 år - seminarier kring Lunds första dator |hämtdatum=17 mar 2019 |författare=Jan Engvald |datum=16 oktober 2006 |verk=lu.se |utgivare=[[Lunds universitet]] |arkivurl=https://web.archive.org/web/20200217102329/http://www.lth.se/digitalth/smil/ |arkivdatum=17 februari 2020 }}</ref><ref>{{tidskriftsref 
 | redaktör = Sofia Lindgren & Julia Peralta
 | rubrik = Högre datautbildningar i Sverige i ett historiskt perspektiv
 | url = https://oru.diva-portal.org/smash/get/diva2:789555/FULLTEXT01.pdf
 | år = 2008
 | tidskrift = Working Papers from the Division of History of Science and Technology
 | volym = TRITA-HST 2008/18
 | utgivningsort = 
 | utgivare = Kungl. Tekniska Högskolan
 | sid = 10
 | hämtdatum = 2022-06-15
 | issn = 1103-5277
 | isbn = 978-91-7415-047-6
 | förnamn = Lindgren
 | efternamn = Sofia
 | övriga =  Julia Peralta
 | författarlänk = 
 | arkivurl =
 | arkivdatum =
 }}
</ref> Tidskriften ''[[BIT Numerical Mathematics]]'' startades av Fröberg år 1961. [[KTH/NADA]] etablerades av Dahlquist år 1963.

== Metoder ==
=== Ekvationer ===
[[Ekvation]]er på formen <math>f(x) = 0</math> brukar lösas med någon av följande metoder:
* [[Intervallhalvering]]
* [[Fixpunktsiteration]]
* [[Newton-Raphsons metod]]
* [[Sekantmetoden]]
* [[Bisektionsmetoden]]

=== Integraler ===
Bestämda [[Integral|integraler]] på formen <math>\textstyle\int_a^b f(x) \mathrm{d}x</math> kan approximeras genom numerisk integration, även kallad numerisk kvadratur. Två exempel på metoder för detta är:
* [[Trapetsregeln]]
* [[Simpsons metod]]

=== Ordinära differentialekvationer ===
[[Ordinär differentialekvation|Ordinära differentialekvationer]] brukar lösas med följande metoder.
* [[Eulers metod]]
* [[Taylorserie|Taylorseriemetoder]]
* [[Heuns metod]]
* [[Mittpunktsmetoden]]
* [[Runge–Kuttametoden]]
* [[Extrapoleringsmetoden]]
* [[Flervärdesmetoden]]
* [[Trapetsmetoden]]

=== Partiella differentialekvationer ===
Lösning av [[Partiell differentialekvation|partiella differentialekvationer]] är ett stort område inom numerisk analys. Två lösningsmetoder är:
* [[Finita differensmetoden]]
* [[Finita elementmetoden]]

== Felanalys ==
{{Kolumner}}
* [[Fel]]
* [[Datafel]]
* [[Beräkningsfel]]
* [[Relativfel]]
* [[Lokala fel]]
* [[Globala fel]]
* [[Trunkeringsfel]]
* [[Avrundningsfel]]
* [[Noggrannhet]]
* [[Stabilitet (skeppsteknik)]]
* [[Stabilitet (flygmekanik)]]
* [[Tillämpad matematik]]
* [[Konditionering]]
* [[Kancellation]]
* [[Absolutgräns]]
* [[Relativgräns]]
* [[Felfortplantning]]
{{Kolumner-slut}}

{{Differentierbar datoranvändning}}

== Referenser ==
=== Noter ===
<references>
<ref name="ne">{{NE|titel=numerisk analys|hämtdatum=2011-05-16}}</ref>
<ref name="ne2">[[Nationalencyklopedin]]: ''[https://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/l%C3%A5ng/numerisk-analys/historik Historik]'' om ''[http://www.ne.se/lang/numerisk-analys Numerisk analys]''. Läst 2011-05-16.</ref>
</references>
=== Källor ===
* Higham, Nicholas J. (1996). Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. Society for Industrial and Applied Mathematics.
* Gautschi, W. (1997). Numerical analysis. Springer Science & Business Media.
* Leader, Jeffery J. (2004). Numerical Analysis and Scientific Computation. Addison Wesley.
* Quarteroni, A., Sacco, R., & Saleri, F. (2010). Numerical mathematics. Springer Science & Business Media.
* Stoer, J., & Bulirsch, R. (2013). Introduction to numerical analysis. Springer Science & Business Media.
* Conte, S. D., & De Boor, C. (2017). Elementary numerical analysis: an algorithmic approach. Society for Industrial and Applied Mathematics.
* Greenspan, D. (2018). Numerical Analysis. CRC Press.
* Linz, P. (2019). Theoretical numerical analysis. Courier Dover Publications.

== Externa länkar ==
* {{commonscat|Numerical analysis}}

{{Bokversion|Matematik}}

{{Linjär-algebra|state=collapsed}}

{{auktoritetsdata}}

[[Kategori:Numerisk analys| ]]
[[Kategori:Wikipedia:Basartiklar]]