Visa källa för Nollrum

'''Nollrummet''' eller '''kärnan''' till en [[linjär avbildning]] <math>F:\mathbb{U} \rightarrow \mathbb{V}</math> (där <math> \mathbb{U} </math> och <math> \mathbb{V} </math> är två [[vektorrum]]) definieras som:
:<math>N(F)=\{\bar{u} \in \mathbb{U} : F(\bar{u})=\bar{0} \}</math> 
Det vill säga [[mängd]]en av alla vektorer i <math> \mathbb{U} </math> som avbildas på [[nollvektorn]], alltså "som blir 0". Att nollrummet gör skäl för sitt namn och inte bara är en delmängd utan även ett [[underrum]] till <math> \mathbb{U} </math> visas med hjälp av definitionen av en linjär avbildning, ty om <math> \bar{u}, \bar{w} \in N(F) </math> och <math> \alpha \in \mathbb{R} </math> så gäller:

# <math> F(\bar{u} + \bar{w}) = F(\bar{u}) + F(\bar{w}) = \bar{0} \Rightarrow \bar{u} + \bar{w} \in N(F) </math>
# <math> F(\alpha \bar{u}) = \alpha F(\bar{u}) = \alpha \bar{0} = \bar{0} \Rightarrow \alpha \bar{u} \in N(F) </math>

vilket är ekvivalent med att <math> N(F) </math> är ett underrum av <math> \mathbb{U} </math>. 
== Tolkning ==

Om nollrummet består av åtminstone någon nollskild vektor, det vill säga om <math> N(F)\not = \{0\} </math>, och avbildningen <math> F </math> kan skrivas med matrisen <math> A </math> följer att:

* <math> Ax = 0 </math> har icke-triviala lösningar.

* <math> A(x + z) = Ax + Az = Ax </math>, om <math> z \in N(F). </math> 

Det vill säga att om du har funnit en lösning <math> x </math> till ekvationen <math> y = Ax </math> så är även <math> x + z </math> en lösning, en lösningsstruktur som bekant återfinns även då man löser linjära [[differentialekvationer]]. Det innebär också att det finns en inbyggd osäkerhet i det system som beskrivs av ekvationen <math> y = Ax </math>. Om <math> A </math> är någon slags transform som verkar på en insignal <math> x </math> och ger en utsignal <math> y </math> så kan du, givet enbart utsignalen <math> y </math>, inte veta om insignalen i det här fallet var <math> x </math> eller <math> x + z </math>.

Att <math> z </math> hör till nollrummet behöver dock inte betyda att den inte har någon som helst effekt på systemet. Tänk dig att <math> y = Ax </math> nu beskriver en kloss som vi applicerar olika stora krafter på under en viss tid. <math> y </math> står för klossens position och hastighet vid sluttidpunkten, <math> x </math> innehåller de olika krafter som vi vill applicera och <math> A </math> beskriver vilken effekt respektive kraft har på klossens slutposition och sluthastighet. Att <math> Az = 0 </math> innebär i det här fallet inte nödvändigtvis att klossen står still under hela tidsperioden, utan den kan röra sig fram och tillbaka i princip hur som helst så länge den står still i sin ursprungsposition väl vid sluttidpunkten.

== Exempel ==

* Bestäm <math> N(F) </math> om <math> F </math> är en ortogonalprojektion i ett plan.

Lösning:
Vid en ortogonalprojektion projiceras varje vektor ner i planet, alltså att man från en given vektor enbart erhåller den komposant som är parallell med planet. <math> N(F) </math> består således av de vektorer som helt saknar en komposant parallell med planet, det vill säga som är ortogonala mot planet. Således består <math> N(F) </math> av alla vektorer längs planets normallinje.

* Bestäm en bas till <math> N(F) </math> om <math> F: </math> <math> \mathbb{R} </math> <sup>4</sup> <math>  \rightarrow </math> <math> \mathbb{R} </math> <sup>4</sup> ges av matrisen <math> A </math>:

<math> \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} </math>


Lösning: <math> N(F) </math> består av alla de vektorer <math> X </math> för vilka <math> AX = 0 </math>, en ekvation som vi tecknar och sedan löser med stegvis [[gausselimination]]:

<math>\left[\begin{array}{rrrr|r}
2 & 1 & -1 & -4 & 0\\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & -2 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & -2 & 0
\end{array}\right]\to
\left[\begin{array}{rrrr|r}
0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & -2 & 0
\end{array}\right]\to
\left[\begin{array}{rrrr|r}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & -2 & 0
\end{array}\right] 
\Leftrightarrow \begin{alignat}{7}
x_2 &&\; = \;&& x_3 \\
x_1 &&\; = \;&& 2x_4
\end{alignat} </math> 

<math> x_3 = t , x_4 = s \Rightarrow x_2 = t , x_1 = 2s \Rightarrow X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = s \bar{v} + t \bar{u} </math> där vektorerna <math> \bar{v} </math> och <math> \bar{u} </math> alltså spänner upp <math> N(F) </math> och således utgör en bas för nollrummet.

== Se även ==
*[[Värderum]]
*[[Dimensionssatsen]]
*[[Kolonnrum]]
*[[Radrum]]

==Referenser==
* Janfalk, Ulf, ''Linjär Algebra'', 2013, Matematiska institutionen, Linköpings Universitet


{{Linjär-algebra|state=collapsed}}

[[Kategori:Linjär algebra]]