Visa källa för Monisk

{{hänvisning|matematik|det snarlika begreppet inom filosofi|monism}}

I [[matematik]]en kallas ett [[nollskild|nollskilt]] [[polynom]] '''moniskt''', om dess [[koefficient|högstagradskoefficient]] är 1 (ett). Exempelvis är de reella polynomen ''x''<sup>3</sup>&nbsp;+&nbsp;5''x''&nbsp;-&nbsp;4 och 3''x''<sup>4</sup>&nbsp;+&nbsp;''x''<sup>7</sup>&nbsp;-&nbsp;5''x''<sup>6</sup>&nbsp;-&nbsp;2''x''&nbsp;+&nbsp;&pi; moniska, medan däremot -''x''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;3''x'' och ''x''&nbsp;+&nbsp;5''x''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;1 inte är det. ([[Nollpolynom]]et räknas inte som moniskt, eftersom det saknar [[Term (matematik)|högstagradsterm]].)

Normalt används termen ''monisk'' endast om polynom i en enda variabel. Ett polynom i flera variabler kan uppfattas som polynom i en variabel på flera olika sätt, och först när man har bestämt sig för hur man gör detta, blir det meningsfullt att avgöra om polynomet är moniskt eller inte. Exempelvis är det reella polynomet
:<math>p(x,y) = 2xy^2+x^2-y^2+3x+5y-8</math>
moniskt om man uppfattar det som ett element i '''R'''[''y''][''x''], alltså som ett polynom i variabeln ''x'' och med koefficienter som är polynom i ''y'':
:<math>p(x,y) = 1\cdot x^2 + (2y^2+3) \cdot x + (-y^2+5y-8)</math>;
men ''p''(''x'',''y'') är inte moniskt som element i  '''R'''[''x''][''y''], eftersom högstagradskoefficienten (alltså ''y''<sup>2</sup>-koefficienten) då är &nbsp;2''x''&nbsp;-&nbsp;1.

Produkten av två moniska polynom är alltid monisk. I övrigt beror egenskaperna hos moniska polynom och motsvarande moniska [[polynomekvation]]er på för vilket [[koefficientområde]] polynomet är definierat. Om koefficientområdet är en [[kropp (algebra)|kropp]] ''k'', så har varje nollskilt polynom i variabeln ''x'' precis ett moniskt [[associerat polynom]], som man får genom att "dividera bort" högstagradskoefficienten. Varje polynomekvation i en variabel  över kroppen kan på motsvarande sätt ersättas med en [[ekvivalent]]{{särskiljning behövs|datum=2018-11}} monisk ekvation. Exempelvis kan den allmänna reella andragradsekvationen
:<math> ax^2+bx+c = 0</math>
ersättas av
:<math>x^2+px+q = 0</math>,
genom att man sätter &nbsp;''p''&nbsp;=&nbsp;''b''/''a''&nbsp; och &nbsp;''q''&nbsp;=&nbsp;''c''/''a''. Således är ekvationen <math>2x^2+3x+1 = 0</math> ekvivalent med <math>x^2+1{,}5x+0{,}5=0</math>.

Om däremot koefficientområdet inte är en kropp, blir skillnaderna väsentligare. Exempelvis kan en monisk polynomekvation med heltal som koefficienter inte ha andra [[Rationella tal|rationella]] lösningar än heltalslösningar. Således skulle ekvationen
:<math>2x^2+3x+1 = 0</math>
kunna ha någon rationell rot som inte är ett heltal (och det har den, bland annat -1/2); medan ekvationerna
:<math>x^2+5x+6 = 0</math>
och
:<math>x^2+7x+8 = 0</math>
bara kan ha heltalslösningar eller [[irrationell]]a lösningar.

Lösningarna till moniska ekvationer över ett [[integritetsområde]] har stor betydelse i teorin för [[helt hölje|hela höljen]].

[[Kategori:Polynom]]