Visa källa för Matematik

{{Matematiska begrepp}}

[[Fil:Scuola di atene 07.jpg|miniatyr|[[Euklides]] är den mest framstående av [[antiken]]s matematiker, bäst känd för sitt verk ''[[Elementa]]''.<ref>{{webbref|url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Euclid.html|verk=University of St Andrews Scotland|titel=Euclid of Alexandria|hämtdatum=6 april 2013}}</ref> Här avbildas Euklides med [[passare (ritverktyg)|passare]] i [[Rafael (konstnär)|Rafaels]] [[fresk]]omålning [[Skolan i Aten]].<ref>{{webbref|url=http://www.hsc.edu/Academics/Academic-Majors/Philosophy/Philosophy-at-H-SC/School-at-Athens/Euclid.html|verk=Hampden-Sydney College|titel=The School of Athens|hämtdatum=6 april 2013|arkivurl=https://web.archive.org/web/20132020371300/http://www.hsc.edu/Academics/Academic-Majors/Philosophy/Philosophy-at-H-SC/School-at-Athens/Euclid.html|arkivdatum=28 februari 2018}}</ref>]]

'''Matematik''' (från [[grekiska]]: Μαθηματικά) är en [[abstraktion|abstrakt]] och generell vetenskap om problemlösning och metodutveckling<ref name="NE, matematik">{{webbref|url=http://www.ne.se.ezp.sub.su.se/lang/matematik|verk=Nationalencyklopedin|titel=matematik|hämtdatum=4 april 2013}}</ref> – abstrakt därför att den frigjort sig från problemens konkreta ursprung och generell därför att den är tillämpbar i ett stort antal områden och teoretiska modeller.<ref name="NE, matematik" /> Alternativt kan man även benämna den som en vetenskap om kvantitativa relationer och rumsliga strukturer i den verkliga världen.<ref name="Mathematics, Encyclopedia of Mathematics">{{webbref|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Mathematics|verk=The European Mathematical Society|titel=Mathematics|hämtdatum=9 april 2013}}</ref> Exempel på matematiska begrepp är [[tal (matematik)|tal]], [[Information|data]], [[struktur (matematik)|struktur]], [[kvantitet]]er, [[Rum (matematik)|rum]] och deras förhållanden.<ref name="OD, Definition Mathematics">{{webbref|url=http://oxforddictionaries.com/definition/english/mathematics|verk=Oxford Dictionaries|titel=mathematics|hämtdatum=2 april 2013|arkivurl=https://web.archive.org/web/20130404064222/http://oxforddictionaries.com/definition/english/mathematics|arkivdatum=2013-04-04}}</ref><ref>{{harvnb|Clapham|Nicholson|2009|p=505}}</ref> Antingen som abstrakta koncept ([[ren matematik]]) eller tillämpningar i [[disciplin|vetenskapliga discipliner]] såsom [[fysik]] och [[teknik]] ([[tillämpad matematik]]).<ref name="OD, Definition Mathematics" />

Medan [[vetenskap|naturvetenskapen]] studerar [[entitet]]er i [[tid]] och rum är det inte uppenbart att samma är sant för de objekt som studeras i matematik.<ref name="Stanford, Philosophy of Mathematics">{{webbref|url=http://plato.stanford.edu/entries/philosophy-mathematics/|verk=Stanford Encyclopedia of Philosophy|titel=Philosophy of Mathematics|hämtdatum=2 april 2013}}</ref> Vidare skiljer sig metoderna för undersökning åt: naturvetenskapen tenderar att använda metoder av [[Matematisk induktion|induktion]] och matematiken metoder av [[deduktion]].<ref name="Stanford, Philosophy of Mathematics" /> Av bland annat nämnda skäl väcker matematik [[ontologi]]ska och [[epistemologi|kunskapsteoretiska]] frågor skilda från [[vetenskapsteori]]n.<ref name="Stanford, Philosophy of Mathematics" /> Dessa frågor behandlas i [[matematikfilosofi]].<ref name="Stanford, Philosophy of Mathematics" />

== Etymologi ==
Det grekiska ordet ''mathemata'' betyder ungefär ''vad som lärs'', ibland i en generell bemärkelse, ibland relaterat till [[astronomi]], [[aritmetik]] och [[musik]].<ref name="Stedall, 18">{{harvnb|Stedall|2012|p=18}}</ref> Ordet ''mathemata'' och dess [[kognat|släktord]] har i efterhand trätt in i [[etymologi]]n hos andra [[Europa|europeiska]] [[språk]].<ref name="Stedall, 18" /> Franska ''mathématiques'', spanska ''matemáticas'', latinska ''mathematica'' och engelska ''mathematics'' har alltså ett gemensamt ursprung.<ref>{{webbref|url=http://mathforum.org/library/drmath/view/52380.html|verk=The Math Forum: Ask Dr. Math|titel=Etymology of the Word Mathematics|hämtdatum=6 april 2013|arkivurl=https://web.archive.org/web/20130530200147/http://mathforum.org/library/drmath/view/52380.html |arkivdatum=2013-05-30}}</ref><ref name="Stedall, 18" /> Definitionen av ordet matematik har aldrig varit enhetlig och har varierat genom [[historia|historien]] och mellan [[världsdel]]ar som [[Europa]], [[Kina]] och [[Mellanöstern]].<ref name="Stedall, 19">{{harvnb|Stedall|2012|p=19}}</ref> I historisk forskning om matematik letas ekvivalenta ord i andra kulturer. Genom att undersöka dessa ord och de aktiviteter som förknippats med dessa har historievetenskapen om matematik utvecklats.<ref name="Stedall, 19" />

I Sverige har matematik kommit att betyda skolämnet eller vetenskapen matematik, som i [[mening (språk)|meningarna]] ”lärobok i matematik” och ”professor i matematik”. Ibland sägs vardagligt ”det är matematik”, med avseende på [[aritmetik]] som i ”det är lätt att räkna ut”.<ref>{{webbref|url=https://www.saob.se/artikel/?seek=matematik&pz=1|verk=Svenska Akademiens Ordbok|titel=Uppslagsord: MATEMATIK|hämtdatum=7 mars 2019}}</ref>

[[Substantiv]]et ''matte'' är i vardagligt tal [[slanguttryck]] för ordet ''matematik'', enligt [[Nationalencyklopedin]] har slanguttrycket funnits sedan [[1924]].<ref name="Matte, NE">{{webbref|url=http://www.ne.se.ezp.sub.su.se/sve/matte/O241262?i_h_word=matte|verk=Nationalencyklopedin|titel=matte|hämtdatum=22 april 2013}}</ref> De engelska motsvarigheterna är ''math'' ([[amerikansk engelska]]) och ''maths'' ([[brittisk engelska]], sedan [[1890]]).<ref name="Mathematics, W">{{webbref|url=http://mathworld.wolfram.com/Mathematics.html|verk=WolframMathWorld|titel=Mathematics|hämtdatum=22 april 2013}}</ref>

== Historia ==
{{Huvudartikel|Matematikens historia}}

[[Fil:Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg|miniatyr|[[Rhindpapyrusen]] från [[British Museum|The British Museum]]. Texten består av 84 problem om numeriska operationer, praktisk problemlösning och geometriska former.<ref>{{webbref|url=http://www.britishmuseum.org/research/collection_online/collection_object_details.aspx?objectId=110036&partId=1|verk=The British Museum|titel=Rhind Mathematical Papyrus|hämtdatum=9 april 2013|arkivurl=https://web.archive.org/web/20131207004358/http://www.britishmuseum.org/research/collection_online/collection_object_details.aspx?objectId=110036&partId=1 |arkivdatum=2013-12-07}}</ref>]]

Matematiken har en minst 4000 år lång historia.<ref>{{harvnb|Stedall|2012|p=xv}}</ref> Vissa menar att matematikens historia går mycket längre bak; bland annat utvecklades matematik i [[Sumer]], södra [[Mesopotamien]] och nuvarande [[Irak]], i samband med utvecklandet av [[skrivkonst]]en och [[läsning|läsandet]] för cirka 5000 år sedan.<ref name="UO mathematics">{{webbref|url=http://pages.uoregon.edu/moursund/Math/mathematics.htm|verk=University of Oregon|titel=What is mathematics?|hämtdatum=24 april 2013|arkivurl=https://web.archive.org/web/20130531204628/http://pages.uoregon.edu/moursund/Math/mathematics.htm|arkivdatum=31 maj 2013}}</ref> Vår äldsta kunskap om människans användande av matematik är från antika Egypten och Babylonien.<ref>{{webbref|url=http://www.math.tamu.edu/~dallen/masters/egypt_babylon/babylon.pdf|verk=G. Donald Allen|titel=Babylonian Mathematics|hämtdatum=8 augusti 2013|arkivurl=https://web.archive.org/web/20140611141038/http://www.math.tamu.edu/~dallen/masters/egypt_babylon/babylon.pdf|arkivdatum=11 juni 2014}}</ref> Andra kulturer där matematik förekommit är grekisk, arabisk, kinesisk, indisk, mayansk och amerikansk kultur.<ref name="Mathematics history topics">{{webbref|url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Indexes/HistoryTopics.html|verk=University of St Andrews Scotland|titel=Mathematics in various cultures, Mathematical topics|hämtdatum=24 april 2013}}</ref> De matematiska ämnen som diskuterats har varit, bland andra, algebra, analys, tal och talteori, geometri och topologi, matematisk fysik och matematisk astronomi.<ref name="Mathematics history topics" />

Den förste matematikern känd vid namn hette [[Ahmes]] och var en [[skrivare|egyptisk skrivare]] som runt [[1600-talet f.Kr.|1650 f.Kr.]] skrev ned ett antal matematiska problem han kallade ''antika skrifter''.<ref name="Ahmes">{{harvnb|Elwes|2010|p=6}}</ref> Idag kallas Ahmes ''antika skrifter'' för [[Rhindpapyrusen]].<ref name="Ahmes" /> Texten visar, tillsammans med andra [[arkeologi]]ska fynd såsom [[Plimpton 322]] (mellan 1900 och 1600 f.Kr., [[Babylonien]]) och [[Moskva-papyrusen]] (ca 1700 f.Kr. [[Mellersta riket]], [[Forntida Egypten]]), att [[Antikens Egypten|det antika Egypten]] och [[Babylonien]], [[civilisation]]er före [[Antikens Grekland]], hade ett välutvecklat numeriskt notationssystem.<ref name="Ahmes" /><ref name="Plimpton 322">{{webbref|url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/mathhist/plimpnote.html|verk=Clark University|titel=Plimpton 322|hämtdatum=24 april 2013}}</ref><ref name="Moscow Mathematics Papyrus">{{webbref|url=http://mathcs.slu.edu/history-of-math/index.php/Moscow_Mathematical_Papyrus |arkivurl=https://web.archive.org/web/20130601110441/http://mathcs.slu.edu/history-of-math/index.php/Moscow_Mathematical_Papyrus |arkivdatum= 1 juni 2013 |verk=Saint Louis University |titel=Moscow Mathematical Papyrus |hämtdatum=24 april 2013 }}</ref>

=== Matematiker ===
[[Norman L. Biggs]] skriver i sin [[lärobok]] ''Discrete Mathematics'': "Matematiker behandlar ''påståenden''. Ofta handlar påståendena om ''[[tal (matematik)|tal]]''. Påståendena är antingen ''sanna'' eller ''falska''. För att bestämma om ett påstående är sant eller falskt krävs ett ''bevis''."<ref>{{harvnb|Biggs|2009|p=1}}</ref>{{#tag:ref|"Mathematicians deal with ''statements''. Usually the statements are about ''numbers''. The statements may be ''true'' or ''false''. To decide whether a statement is true or false requires a ''proof''."|group=en}}

== Notation och terminologi ==
{{fler källor avsnitt|datum=2023-08}}
Matematiska begrepp införs med en [[definition]] som beskriver hur begreppet ska tolkas. Här presenteras ett antal grundläggande begrepp inom modern matematik. Nedanstående ska dock inte tolkas som matematiska definitioner, utan försök att förklara hur begreppen används.

=== Mängder ===
En [[mängd]] är en samling objekt, till exempel en samling tal {1, 2, 3} som är en ''ändlig mängd'', {1, 2, 3, ...} är däremot en ''[[oändlig]] mängd'' där punkterna markerar att numreringen fortsätter. En mängd utan innehåll kallas [[den tomma mängden]]. En mängd kan bestå av flera [[delmängd]]er. Om har två mängder, kan man ta elementen som är gemensamma ([[snitt]]et) eller ta elementen som finns i någon mängd ([[Union (matematik)|union]]en). Dessutom kan man ta [[komplement]]et, de element som inte finns i den givna mängden men som finns i den största tänkbara mängden.<ref>{{harvnb|Rogosinski|1954|s=4-9}}</ref> Mängder och dess operationer studeras inom [[mängdteori]], där [[Zermelo-Fraenkels mängdteori]] är den vanligaste modellen.

===Funktioner===
[[Funktion]]er tar värden från ett område, ''definitionsmängden'', och tilldela värden i ett annat område, ''värdemängden''. Inom grundskolan är ofta dessa mängder mängden av de reella talen R.

=== Tal ===
Matematikens numeriska system består bl.a. av de naturliga talen, heltalen, de rationella talen, de reella talen och de komplexa talen. Vi ska i detta avsnitt ge ett förslag till en konstruktion av de naturliga talen som använder sig av [[Peanos axiom]]. Utifrån denna konstruktion ska vi ge en axiomatisk definition av heltalen; vi använder ordet axiom för att mena grundantaganden som inte är i sig själva logiskt härledda resultat. Utifrån definitionen av heltal kan vi konstruera de rationella talen genom att använda oss av ordnade par av tal. En konstruktion av de reella talen finns bland annat i [[Richard Dedekind]] arbete.

==== Konstruktion av de naturliga talen ====
Med de naturliga talen N, avser vi mängden av icke-negativa heltal (0, 1, 2, osv). Intuitivt bygger vi de hela talen genom att börja med ett unikt element 0. Därefter associerar vi nästa tal i N med 0+1, och andra med (0+1)+1, osv. En sådan här förståelse av de naturliga talen är intuitiv, med det menat icke-formellt, eftersom + inte är en väldefinierad operation. Vi kan inte heller, under denna uppfattning, se att N är en oändlig mängd, ty ett argument för att N är oändligt är följande: (<math>\alpha</math>) antag att det finns ett största element n i N, då är n+1 i N och n+1 är större än n, således kan inte n vara det största talet i N och via reductio ad absurdum innehåller inte N ett största tal. Notera påståendet att n+1 är större än n, det är inte sant eftersom vi ännu inte har funnit någon matematisk mening med "större än" eller "mindre än". Peanos axiom löser problemen från denna diskussion:

Systemet <math>\mathbb{N}</math>, vars element vi kallar naturliga tal, är en mängd med ett unikt element 0 och en funktion s från N till N så att följande tre villkor är uppfyllda:
:<math>(i) \qquad s(n) \neq 0 \text{ för alla element } n \in \mathbb{N}</math>
:<math>(ii) \qquad s(m)=s(n) \Rightarrow m=n \text{ för alla element } m,n \in \mathbb{N}</math>
:<math>(iii) \qquad \text{om } A \subseteq \mathbb{N} \text{ och } s(n) \in A \text{ för alla } n \in \mathbb{N} \text{ så gäller att } A=\mathbb{N}</math>

Några kommentarer: till varje naturligt tal n säger vi att s(n) är dess efterföljare och vi definierar s i "konkreta" termer genom att skriva <math>s(n)=n+1</math>. Eftersom vi vill att alla tal i N är icke-negativa är det inte svårt att se att (i) är ett rimligt krav. Angående (ii): antag att kravet inte vore uppfyllt. Vi skulle då ha <math>s(n)=s(m) \Rightarrow n+1=m+1</math>. Ofta inser vi nu att vi kan subtrahera (en operation ej definierad på <math>\mathbb{N}</math>, ty om subtraktion vore definierad vore <math>\mathbb{N}</math> en icke-stängd mängd; dvs. att det finns element i <math>\mathbb{N}</math> sådan att en binär operation applicerad på dem resulterar i ett element som <math>\mathbb{N}</math> inte innheåller. T.ex: 0-1=-1 är inte i <math>\mathbb{N}</math>) och att n=m, så att om m är skilt från n har vi ett matematisk resultat som inte är i enlighet med allmän/kulturell/standardiserad matematisk intuition. Det är därför rimligt att (ii) gäller. (iii) kallar vi för matematisk induktion. A kan tänkas bestå av en mängd egenskaper P(n) som beror på naturliga tal n i <math>\mathbb{N}</math>. Om det från egenskapen, ibland kallat påstående, P(n) följer att P(n+1) för alla n i <math>\mathbb{N}</math>, säger vi att P(n) håller för alla n och kan skriva <math>A=\{n \in \mathbb{N}|P(n) \}=\mathbb{N}</math> (mängden A utläses: mängden av naturliga tal n för vilka P(n) gäller). Att induktion leder till många filosofiska problem är bland annat välkänt efter [[David Hume]].

Med notationen från Peanos axiom definierar vi addition och multiplikation.

'''Addition''': För element m, n i <math>\mathbb{N}</math> har vi att m+n är lika med s applicerad n gånger på s(m). Kortfattat: <math>m+n=s^n(m)</math>. Då vi utför denna procedur säger vi att vi adderar n till m. Proceduren kallar vi addition. Därmed är + en väldefinierad binär operation.

'''Multiplikation''': m*n fås av att bygga en funktion g som applicerar s m gånger, och sen applicera g n gånger på 0. Kortfattat: <math>m\cdot n=(s^m)^n(0)</math>. Då vi utför denna procedur säger vi att vi multiplicerar m och n. Proceduren kallar vi multiplikation. Därmed är * en väldefinierad binär operation.

'''Större än eller lika med''': Vi säger att m är större än eller lika med n, skrivet <math>m \geq n</math>, om ekvationen m=n+x har en lösning x i N. Under samma villkor säger vi att n är mindre än eller lika med m. Om lösningen ges av x=0 säger vi att m är lika med n och skriver <math>m=n</math>. Om lösningen x är nollskild, säger vi att m är större än n och skriver <math>m > n</math>. Dvs: tecknet <math>\geq</math> kan utläsas "större än eller lika med".

Argumentet (<math>\alpha</math>) för att <math>\mathbb{N}</math> är en oändlig mängd är nu giltigt baserat på Peanos axiom.

==== Definition av heltalen ====
<math>\mathbb{N}</math> är en delmängd av heltalen <math>\mathbb{Z}</math>.

==== Konstruktion av de rationella talen ====
<math>\mathbb{Z}</math> är en delmängd av de rationella talen <math>\mathbb{Q}</math>.

==== Konstruktion av de reella talen ====
<math>\mathbb{Q}</math> är en delmängd av de reella talen <math>\mathbb{R}</math>.

=== Rum ===
En [[vektor]] kan ses som en lista av tal, kallade ''element''. Vektorer kan visas i [[koordinatsystem]], eller definiera ett så kallat [[vektorrum]]. Dessa punkter kan sättas samman till geometriska figurer. En vektor kan i stället för tal bestå av andra objekt, som följer vissa grundläggande räkneregler. Till exempel kan polynom användas som vektorer.

=== Matematisk notation ===
[[Matematisk notation]] är symboler som låter matematiker uttrycka idéer koncist. Till exempel tros symbolerna för [[addition]] och [[subtraktion]] uppstått på 1300-talet. Addition betecknas [[Plustecken|+]] och subtraktion betecknas [[Minustecken|−]].<ref>{{webbref|url=http://jeff560.tripod.com/mathsym.html|verk=Jeff Miller Web Pages|titel=Earliest Uses of Various Mathematical Symbols|hämtdatum=4 april 2013}}</ref>

== Delområden ==

=== Aritmetik ===
Vetenskapen om tal, och operationer på mängder av tal, kallas aritmetik.<ref>{{webbref|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Arithmetic|verk=The European Mathematical Society: Encyclopedia of mathematics|titel=Arithmetic|hämtdatum=8 augusti 2013}}</ref> Aritmetiska operationer inkluderar addition, subtraktion, multiplikation och division, som kallas de fyra räknesätten. Dessutom ingår [[kongruensrelation]]en (att resten vid division är lika), faktorisering (uppdelning av ett tal i faktor som multiplicerade ihop blir talet) och potenser (att upphöja ett tal till ett annat).[[Operatorprioritet]]en avgör i vilken ordning olika delar av ett matematiskt uttryck ska beräknas. Aritmetiken var en del av quadrivium vid medeltida universitet.<ref>{{webbref|url= http://mathworld.wolfram.com/Arithmetic.html |verk=WolframMathWorld|titel=Arithmetic|hämtdatum=8 augusti 2013}}</ref>

{{Källor avsnitt|datum=2021-04}}

=== Geometri ===
[[Geometri]] är vetenskapen om ''rumsliga strukturer''. Under 1600-talet vidaredefinierade [[René Descartes]] geometrin till algebraiska formuleringar, ett ämne som kom att kallas [[analytisk geometri]]. Några följder av Descartes upptäckter är att olika [[kägelsnitt]] kunde representeras i form av korta ekvationer och att plana geometriska figurer kunde avbildas i ett [[kartesiskt koordinatsystem]]. Vetenskapen som studerar [[vinklar]] och deras förhållanden mellan varandra kallas [[trigonometri]], sambanden mellan geometriska och trigonometriska satser är starka. I modern tid har [[topologi]] blivit ett viktigt område, där studeras rumsliga strukturer precis som i geometrin med undantaget att formen, och inga avstånd, hos objekten betraktas. Strukturerna kan töjas eller dras ihop fast håligheter ska bevaras.<ref name="Carleson1968">{{Bokref |titel=Matematik för vår tid : en presentation och ett debattinlägg |efternamn=Carleson |förnamn=Lennart |författarlänk=Lennart Carleson|medförfattare= |år=1968 |utgivare=Prisma |utgivningsort=Stockholm |isbn= |sid= }}</ref>

=== Algebra ===
[[Algebra]] är en sorts vetenskap om ''kvantitativ balans''. Elementär algebra, linjär algebra och abstrakt algebra är exempel på områden som alla behandlar algebraiska strukturer, som innehåller en mängd, några operation och räkneregler för dessa. [[Elementär algebra]] behandlar tal och [[linjär algebra]] matriser och vektorer. [[Abstrakt algebra]] eller modern algebra uppkom på 1800-talet när problem från talteorin och teorin för ekvationer ledde till studien av abstrakta matematiska objekt som kunde vara tal, polynom, permutationer eller element i andra mängder. De aritmetiska operationerna kan tillämpas på dessa objekt.<ref>{{harvnb|Beachy & Blair|1996|s=xvii}}</ref>

=== Matematisk analys ===
[[Matematisk analys]] handlar om ''förändring''. En stor del av analysen består av teorier om [[gränsvärden]], varur teorin om derivator, ett mått på förändring, och integraler, gränsvärdet av en summa, bildas. Ibland pratas det om [[vektoranalys]], där används matematisk analys och linjär algebra för att lösa problem, oftast i ett tredimensionellt rum.

=== Diskret matematik ===
[[Diskret matematik]] handlar om [[heltal]]en. En viktig gren är [[kombinatorik]] som diskuterar [[kombination (matematik)|kombinationer]] och [[permutation]]er av urval. Även [[grafteori]]n hör hit.<ref>{{harvnb|Eriksson & Gavel|2002}}</ref>

== Egenskaper och metodik ==
Matematiken söker abstrahera och generalisera olika koncept. Till exempel kan det finnas anledning att abstrahera begreppet ''symmetri'', vilket bland annat leder till [[galoisteori]].<ref>{{webbref|url=http://nrich.maths.org/1422|verk=NRICH|titel=An Introduction to Galois Theory|hämtdatum=4 april 2013}}</ref>

=== Bevisföring ===
Kortfattat är matematiska ''satser'' resultat härledda från ett antal påståenden, ''axiom'', vilka är betraktade som uppenbara och sanna utan [[Matematiskt bevis|bevis]]. Ett axiom är inte en [[förmodan]] eller [[hypotes]] ty de senare betraktas ej som ''uppenbara''.<ref>{{webbref|url=http://mathworld.wolfram.com/Axiom.html|verk=WolframMathWorld|titel=Axiom|hämtdatum=4 april 2013}}</ref>

En sats kan betraktas som ett ''sant matematiskt påstående''. Ett bevis av en sats verifierar att satsen är en otvetydig sanning. Beviset är en verifikation i den meningen att den övertygar läsaren, med relevanta förkunskaper, om att satsen är sann. Relevanta förkunskaper inkluderar kunskapen om tidigare satser, axiom och definitioner. När vi skriver ''definition'', avser vi en exakt förklaring av ett matematiskt ord eller en matematisk mening. Ibland förekommer orden [[lemma]] och [[följdsats]] för sanna matematiska påståenden. Ett lemma är en sats vars huvudsyfte är att förenkla beviset av en större sats. En följdsats är en direkt konsekvens av en sats.<ref name="BOP CH 4">{{webbref|url=http://www.people.vcu.edu/~rhammack/BookOfProof/Direct.pdf|verk=Book of Proof av Richard Hammack|titel=Chapter 4: Direct Proof|hämtdatum=11 augusti 2013|arkivurl=https://web.archive.org/web/20120324091528/http://www.people.vcu.edu/~rhammack/BookOfProof/Direct.pdf|arkivdatum=24 mars 2012}}</ref>

Låt oss betrakta definitionen "ett [[heltal]] ''n'' är '''udda''' om ''n''=2''a''+1 för något heltal ''a''". Vi påstår att "7 är ett udda heltal" är ett sant matematiskt påstående. Genom att sätta "''a''=3" i definitionen har vi bevisat att 7 är ett udda heltal, eftersom 7=2·3+1.<ref name="BOP CH 4" />

Den brittiska matematikern [[Bertrand Russell]] (1872–1970) skrev:

{{citat|Ren matematik består fullständigt av förklaringar som, om det och det påståendet är sant om någonting, är det och det påståendet sant om den saken... Det är nödvändigt att inte diskutera huruvida påståendet är verkligen sant, och inte nämna vad någonting är som antas vara sant... Om vår hypotes är om någonting och inte om någon eller några specifika saker, då konstituerar våra deduktioner matematik. Därför kan matematik definieras som det ämne inom vilken vi aldrig vet vad vi pratar om, eller om vad vi säger är sant.|Bertrand Russell<ref>{{webbref|url=http://www.cut-the-knot.org/proofs/index.shtml|verk=cut-the-knot.org|titel=Proofs in Mathematics|hämtdatum=14 augusti 2013}}</ref> {{#tag:ref|"Pure mathematics consists entirely of such asseverations as that, if such and such a proposition is true of anything, then such and such another proposition is true of that thing... It's essential not to discuss whether the proposition is really true, and not to mention what the anything is of which it is supposed to be true... If our hypothesis is about anything and not about some one or more particular things, then our deductions constitute mathematics. Thus mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true."|group=en}}}}

=== Estetik ===
Många matematiker har talat om skönheten i matematik.<ref>{{webbref|url=http://www.cut-the-knot.org/manifesto/beauty.shtml|verk=Cut the Knot|titel=Is Mathematics Beautiful?|hämtdatum=4 april 2013}}</ref> Bland annat skrev [[Godfrey Harold Hardy|G. H. Hardy]]:

{{citat|Matematikerns mönster, som konstnärens eller poetens, måste vara vackra; idéerna, likt färgerna eller orden, måste bindas på ett harmoniskt sätt. Skönhet är det första testet: det finns ingen permanent plats i den här världen för ful matematik. |G. H. Hardy<ref>{{harvnb|Hardy|2012|p=84}}</ref>{{#tag:ref|"The mathematician's patterns, like the painter's or the poet's must be beautiful; the ideas, like the colors or the words must fit together in a harmonious way. Beauty is the first test: there is no permanent place in this world for ugly mathematics."|group=en}}}}

== Matematikfilosofi ==
Matematikfilosofi avser ett antal filosofiska inriktningar som gör påståenden om vad matematiken ''är''. Exempel på sådana inriktningar är ''de fyra skolorna'': [[logicism]], [[intuitionism]], [[formalism]] och [[predicativism]]; [[platonism]], [[nominalism]] och [[strukturalism]].<ref name="Stanford, Philosophy of Mathematics" />

== Tillämpad matematik ==
{{Huvudartikel|Tillämpad matematik}}

=== Fysik ===
Fysik är den ursprungliga benämningen på all naturvetenskap. När bland andra kemin, biologin och geovetenskaperna blev separata vetenskaper kom fysiken att bli den vetenskap som studerar de grundläggande strukturerna hos [[materia]].<ref>{{webbref|url=http://www.ne.se/fysik|verk=Nationalencyklopedin|titel=Fysik|hämtdatum=4 april 2013}}</ref> Teoretisk fysik är rätt så matematiskt inriktad.

=== Numerisk analys ===
[[Numerisk analys]] är en vetenskap som består av metoder för att med dator numeriskt finna (approximativa) lösningar till matematiska problem.<ref>{{webbref|url=http://www.ne.se/numerisk-analys|verk=Nationalencyklopedin|titel=Numerisk analys|hämtdatum=4 april 2013}}</ref> Exempel är att finna rötter till ekvationer på formen <math>f(x)=0</math> eller att anpassa ett polynom till ett antal punkter.

=== Sannolikhetsteori och statistik ===
Sannolikhetsteorin söker beskriva och studera matematiska modeller av slumpmässiga fenomen från ett teoretiskt perspektiv.<ref name="Gut, 1-2"></ref> Statistik är det område som vill skapa metoder, principer, kriterier, m.m. för att diskutera data från slumpmässiga fenomen eller data från experiment och observationer från verkligheten.<ref name="Gut, 1-2"></ref> Kunskaper och teorier från sannolikhetsteorin kan exempelvis användas till att formulera sådana metoder, principer och kriterier; något som visar att sannolikhetsteorin och statistikteorin är tätt förknippade.<ref name="Gut, 1-2">{{harvnb|Gut|2009|p=1–2}}</ref>

Modeller används i många akademiska vetenskaper, dessa är oftast deterministiska. Det innebär att givet ett antal initiala kända värden, kan vi förutsäga en framtida händelse.<ref name="Gut, 1-2"></ref> [[Isaac Newton]] visade att hans rörelselagar är deterministiska eftersom de kan förutsäga tiden det tar för [[jorden]] att göra ett varv runt [[solen]].<ref name="determinism">{{webbref|url=http://order.ph.utexas.edu/chaos/determinism.html#panel08|verk=Department of Physics, The University of Texas at Austin|titel=determinism|hämtdatum=25 juli 2013}}</ref> I sannolikhetsteorin studeras slumpmässiga fenomen där framtida utfall inte kan förutsägas exakt, därför diskuteras inte deterministiska modeller utan s.k. probabilistiska modeller.<ref name="Gut, 1-2">{{harvnb|Gut|2009|p=1–2}}</ref> Exempelvis beskriver myntkast ett slumpmässigt fenomen: trots att vi har fullständig kunskap om myntets konstruktion, t.ex. att det är symmetriskt, kan vi inte förutsäga i vilket fall det blir krona eller klave. Istället för en deterministisk modell krävs en probabilistisk.<ref name="Gut, 1-2"></ref>

Den relevanta skillnaden mellan sannolikhetsteorin och statistikteorin är att vi i sannolikhetsteorin har (a) en given slumpmodell och försöker utifrån denna förutsäga utfallet i ett slumpförsök, medan i statistikteorin är förhållandet omvänt och vi har (b) ett utfall från ett slumpförsök och vill beskriva den underliggande slumpmodellen.<ref name="Britton, 265">{{harvnb|Britton|2008|p=265}}</ref> En biokemist kan använda sig av statistiska metoder för att utveckla medicin som lindrar huvudvärk. Ges medicinen till olika personer kommer variationen mellan personer innebära att de upplever olika mycket förändring i sin huvudvärk. En statistik analys av data från ett sådant experiment kan svara på hur mycket lindring som kan förväntas i genomsnitt.<ref name="Devore, 1-8">{{harvnb|Devore|2012|p=1–8}}</ref>

===Optimeringslära===
Optimering handlar om att maximera eller att minimera en storhet där något bivillkor är givet.

== Utbildning ==
I [[Sverige]] är matematik, enligt [[Skolverket]], "ett nationellt prioriterat utvecklingsområde".<ref name="Skolverket, matematik">{{webbref|url=http://www.skolverket.se/skolutveckling/amnesutveckling/matematik |verk=Skolverket |arkivurl=https://web.archive.org/web/20120615063139/http://www.skolverket.se/skolutveckling/amnesutveckling/matematik |arkivdatum=15 juni 2012 |titel=Matematik |hämtdatum=26 april 2013}}</ref> Vidare ingår matematik, enligt kursplanen, i [[förskola|för-]], [[grundskola|grund-]], [[grundsärskola|grundsär-]], [[sameskola|same-]], [[gymnasieskola|gymnasie-]], [[gymnasiesärskola]]n samt [[vuxenutbildning]]en.<ref name="Skolverket, matematik, kursplan">{{webbref|url=http://www.skolverket.se/kursplaner-och-betyg/laroplaner-kursplaner-amnesplaner|verk=Skolverket|titel=Matematik: Läroplaner, kursplaner och ämnesplaner|hämtdatum=26 april 2013|arkivurl=https://web.archive.org/web/20130510022328/http://www.skolverket.se/kursplaner-och-betyg/laroplaner-kursplaner-amnesplaner|arkivdatum=2013-05-10}}</ref> [[Matematikundervisning]] förekommer i samtliga [[världsdelar och kontinenter]].<ref name="OECD, Pisa, Mathematics">{{webbref|url=http://www.oecd.org/pisa/participatingcountrieseconomies/ |verk=OECD |titel=PISA Participating countries/economies |hämtdatum=26 april 2013|arkivurl=https://web.archive.org/web/20150908034707/http://www.oecd.org/pisa/participatingcountrieseconomies/ |arkivdatum=2015-09-08 }}</ref>

Matematiklärarutbildning bedrivs vid [[universitet]] och [[Högskola|högskolor]]. Exempelvis Matematiska institutionen vid [[Stockholms universitet]] anger att man "inom ämneslärarprogrammet i matematik, naturvetenskapliga ämnen och teknik har du möjlighet att välja matematik antingen som första eller som andra ämne. ... Man kan också kombinera matematik med ämnen från andra fakultet, såsom historia eller engelska".<ref>{{Webbref|url= http://www.math.su.se/utbildning/l%C3%A4rarutbildning/%C3%A4mnesl%C3%A4rarprogrammet/bli-matematikl%C3%A4rare-1.80271|titel= Matematiska institutionen|hämtdatum= 25 mars 2017|författare= |efternamn= |förnamn= |författarlänk= |efternamn2= |förnamn2= |datum= |år= 7 augusti 2014|månad= |format= |verk= |utgivare= Stockholms universitet|sid= |språk= |doi= |arkivurl= https://web.archive.org/web/20170326052309/http://www.math.su.se/utbildning/l%C3%A4rarutbildning/%C3%A4mnesl%C3%A4rarprogrammet/bli-matematikl%C3%A4rare-1.80271|arkivdatum= 26 mars 2017|citat= |ref= }}</ref>

I Sverige bedrivs matematikforskning bland annat på universiteten [[Stockholms universitet]], [[Uppsala universitet]], [[Linköpings universitet]], [[Chalmers tekniska högskola]], [[Kungliga Tekniska högskolan]], [[Luleå tekniska universitet]], [[Lunds universitet]] och [[Mälardalens universitet]], men även på [[institution (akademisk)|institutioner]] som [[Institut Mittag-Leffler]] och [[Fraunhofer-Chalmers Research Centre for Industrial Mathematics]].<ref>{{webbref|url=http://www.maths.lu.se/forskning/|verk=Lunds universitet|titel=Matematikcentrum|hämtdatum=26 april 2013}}</ref><ref>{{webbref|url=http://www.chalmers.se/sv/institutioner/math/forskning/Sidor/default.aspx|verk=Chalmers tekniska högskola|titel=Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola|hämtdatum=26 april 2013}}</ref><ref>{{webbref|url=http://www.math.su.se/forskning|verk=Stockholms universitet|titel=Matematiska institutionen Stockholms universitet|hämtdatum=26 april 2013}}</ref><ref>{{webbref|url=http://www.math.uu.se/Forskning/|verk=Uppsala universitet|titel=Matematiska institutionen Uppsala universitet|hämtdatum=26 april 2013}}</ref><ref>{{webbref|url=http://www.sci.kth.se/en/institutioner/math/forskning/matematik|verk=Kungliga Tekniska högskolan|titel=Matematiska institutionen Kungliga Tekniska högskolan|hämtdatum=26 april 2013}}</ref><ref>{{webbref|url=http://www.mittag-leffler.se/?q=about |verk=Institut Mittag-Leffler |titel=Om Institut Mittag-Leffler |hämtdatum=26 april 2013|arkivurl=https://web.archive.org/web/20150907230337/http://www.mittag-leffler.se/?q=about |arkivdatum=2015-09-07 }}</ref><ref>{{webbref|url=http://www.fcc.chalmers.se/|verk=Fraunhofer-Chalmers Research Centre for Industrial Mathematics|titel=Mathematics as a technology|hämtdatum=27 april 2013}}</ref> I Finland bedrivs matematikforskning bland annat i [[Helsingfors universitet]]. Andra exempel där matematikforskning bedrivs är [[USA|amerikanska]] universitet [[Massachusetts Institute of Technology]], [[England|engelska]] [[Universitetet i Cambridge]], [[schweiz]]iska [[Eidgenössische Technische Hochschule Zürich]], [[Kina|kinesiska]] [[Pekinguniversitetet]], [[Frankrike|franska]] [[École polytechnique]], [[japan]]ska [[Tokyo Kogyo-universitetet]] och många fler.<ref>{{webbref|url=http://www.usnews.com/education/worlds-best-universities-rankings/best-universities-mathematics |verk=USNews |titel=World's Best Universities Mathematics |hämtdatum=26 april 2013 |arkivurl=https://web.archive.org/web/20130930233851/http://www.usnews.com/education/worlds-best-universities-rankings/best-universities-mathematics |arkivdatum=2013-09-30 }}</ref>

Exempel på matematiska tidskrifter är [[Acta Mathematica]], [[Annals of Mathematics]] och [[The American Mathematical Monthly]].<ref>{{webbref|url=http://www.mathontheweb.org/mathweb/mi-journals.html|verk=Mathematics on the Web Pages|titel=Mathematical Journals|hämtdatum=4 april 2013|arkivurl=https://web.archive.org/web/20130426052229/http://www.mathontheweb.org/mathweb/mi-journals.html|arkivdatum=26 april 2013}}</ref>

== Källor ==
=== Fotnoter ===
<references/>

=== Tryckta källor ===
* {{Citation
 | last1=Stedall
 | first1=Jacqueline
 | author-link = 
 | last2=
 | first2=
 | title=The History of Mathematics: A Very Short Introduction
 | publisher=Oxford University Press
 | place=
 | publication-date =
 | pages =
 | isbn = 978-0-19-959968-4
 | page = 
 | volume=
 | edition=1
 | year=2012
}}
* {{Citation
 | last1=Hardy
 | first1=Godfrey Harold
 | author-link = Godfrey Harold Hardy
 | last2=
 | first2=
 | title=A Mathematician's Apology
 | publisher=Cambridge University Press
 | place=USA
 | publication-date =
 | pages =
 | isbn = 978-1-107-60463-6
 | page = 
 | volume=
 | edition=19
 | year=2012
}}
* {{Citation
 | last1=Elwes
 | first1=Richard
 | author-link =
 | last2=
 | first2=
 | title=Maths 1001
 | publisher=Firefly Books
 | place=USA, Kanada
 | publication-date =
 | pages =
 | isbn =978-1-55407-719-9
 | page = 
 | volume=
 | edition=2
 | year=2010
}}
* {{Citation
 | last1=Biggs
 | first1=Norman
 | author-link =
 | last2=
 | first2=
 | title=Discrete Mathematics
 | publisher=Oxford University Press
 | place=USA
 | publication-date =
 | pages =
 | isbn =978-0-19-850718-5
 | page = 
 | volume=
 | edition=2
 | year=2009
}}
* {{Citation
 | last1=Clapham
 | first1=Christopher
 | author-link = 
 | last2=Nicholson
 | first2=James
 | title=The Concise Oxford Dictionary of Mathematics
 | publisher=Oxford University Press
 | place= USA
 | publication-date = 
 | pages =
 | isbn = 978-0199235940
 | page = 
 | volume=
 | edition=4
 | year=2009
}}
* {{Citation
 | last1=Gut
 | first1=Allan
 | author-link= 
 | title=An intermediate course in probability
 | publisher=Springer
 | place=Heidelberg, London, New York
 | publication-date = 
 | pages =
 | isbn = 978-1-4419-0161-3
 | page = 
 | volume=
 | edition=2
 | year=2009
}}
* {{Citation
 | last1=Devore
 | first1=Jay
 | last2=Berk
 | first2=Kenneth
 | author-link= 
 | title=Modern Mathematical Statistics with Applications
 | publisher=Springer
 | place=Heidelberg, London, New York
 | publication-date = 
 | pages =
 | isbn =978-1-4614-0391-3
 | page = 
 | volume=
 | edition=2
 | year=2012
}}
* {{Citation
 | last1=Britton
 | first1=Tom
 | author-link = 
 | last2=Alm
 | first2=Sven Erick
 | title=Stokastik: Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar
 | publisher=Liber
 | place=Sverige, Stockholm
 | publication-date =
 | pages =
 | isbn = 978-1-107-60463-6
 | page = 
 | volume=
 | edition=1
 | year=2008
}}
*{{Bokref |titel=Abstract algebra |efternamn= Beachy|förnamn= John A.|författarlänk= |medförfattare=  William D. Blair |år=1996 |utgivare=Waveland Press |utgivningsort=Prospect Heights, Ill. |isbn=0-88133-866-4 |sid= }}
* {{Bokref |titel=Diskret matematik och diskreta modeller  |efternamn=Eriksson |förnamn=Kimmo |författarlänk=Kimmo Eriksson |medförfattare= Hillevi Gavel|år=2002 |utgivare=Studentlitteratur |utgivningsort= Lund|isbn= 91-44-02465-7|sid=}}
*{{Bokref |titel=Volume and integral |efternamn=Rogosinski |förnamn=W. W. |författarlänk= |medförfattare= |år=1952 |utgivare=Oliver and Boyd Ltd |utgivningsort=Edinburgh |isbn= |sid= }}

=== Originalcitat ===
<references group="en"/>

== Externa länkar ==
* {{Commonscat|Mathematics}}
* {{Wikibooks|boktitel=Matematik|boktitel2="Matematik"}}
* [http://www.smal-matte.com/ Sveriges Matematiklärarförening (SMaL)]

{{Gymnasieämnen i Sverige}}
{{auktoritetsdata}}

[[Kategori:Matematik| ]]
[[Kategori:Wikipedia:Basartiklar]]