Visa källa för Loxodrom

[[Fil:Loxodrome.svg|thumb|En loxodromlinje med vinkeln β.]]
En '''Loxodrom''' (av [[grekiska]] λοξός, ''loxos'', skev, böjd åt sidan, och δρόμος, ''dromos,'' lopp)<ref>''[https://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/l%C3%A5ng/loxodrom Loxodrom]'' i [[Nationalencyklopedin]].</ref> är inom [[geometri]]n en kroklinje, som på en [[sfär]], eller [[sfäroid]], dras så, att den skär alla genom båda polerna gående cirklar, eller [[ellips (geometri)|ellipser]], (det vill säga [[meridianer]]) under konstant vinkel.<ref name="EOS">Oxford University Press [http://www.encyclopedia.com/doc/1O225-rhumbline.html ''Rhumb Line''], The Oxford Companion to Ships and the Sea, Oxford University Press (2006). Läst i Encyclopedia.com 2012-11-30.</ref>, det vill säga håller konstant [[kompasskurs]]<ref>Om man inte färdas längs en [[parallellcirkel]] i rakt östlig eller västlig riktning, eller längs en [[meridian]] i rakt nordlig eller sydlig riktning.</ref>. Loxodromen har formen av en spiral, som [[asymptotisk kurva|asymptotiskt]] närmar sig polerna.

En loxodrom har många intressanta matematiska egenskaper. Den undersöktes redan av portugisen [[Pedro Nunes]] (1567), men först efter [[differentialkalkyl]]ens upptäckt underkastades den en utförligare behandling, särskilt av [[Jakob Bernoulli]] och [[Maclaurin]].

== Till sjöss ==
Inom [[navigation]]en spelar loxodromen en viktig roll. Om ett skepp ständigt rör sig i samma väderstreck, utgörs dess väg av en sådan [[rät linje]].<ref name="EOS"/> Med så kallade [[loxodromiska tabeller]] kan man för varje tidpunkt bestämma skeppets [[longitud]], om man känner den tillryggalagda vägen och riktningen. På kartor, utförda efter [[Mercators projektion]], representeras alla loxodromiska linjer av räta linjer.<ref name="EOS"/>

=== Matematisk beskrivning ===
En relativt enkel formel kan härledas för ett [[sfär]]iskt jordklot:
Låt β vara vinkeln mellan den konstanta [[kompasskurs]]en längs loxodromen och nordriktningen och <math>\lambda_0\,\!</math> vara den longitud, där loxodromen passerar ekvatorn. Låt <math>\lambda\,\!</math> vara longituden hos en punkt på loxodromen. I en [[mercatorprojektion]] blir loxodromen den [[Rät linje|räta linjen]]
:<math>x = \lambda\,</math>
:<math>y = m (\lambda - \lambda_0)\,</math>
med lutningen <math>m=\cot(\beta)\,\!</math>. För en punkt med latituden <math>\phi\,</math> och longituden <math>\lambda\,\!</math> kan läget i mercatorprojektionen uttryckas som
:<math>x= \lambda\,</math><br /><math>y=\tanh^{-1}(\sin \phi).\,\!</math>
Då kommer punktens latitud att bli
:<math>\phi=\sin^{-1}(\tanh(m (\lambda-\lambda_0))),\,</math>
eller i termer av den så kallade [[Gudermannfunktionen]] ''gd'' <math>\phi=\rm{gd}(\mathit{m} (\lambda-\lambda_0)).\,</math>

I [[Kartesiskt koordinatsystem|kartesiska koordinater]] kan detta förenklas till
:<math>x = r \cos(\lambda) / \cosh(m (\lambda-\lambda_0)),\,</math>
:<math>y = r \sin(\lambda) / \cosh(m (\lambda-\lambda_0)),\,</math>
:<math>z = r \tanh(m (\lambda-\lambda_0)).\,</math>

Loxodromer mellan två givna punkter kan hittas grafiskt på en Mercatorkarta, eller genom att lösa ett icke-linjärt system av två ekvationer i de två okända tan(''α'') och ''λ<sub>0</sub>''. Det finns oändligt många lösningar; den kortaste är den som täcker den föreliggande longitudskillnaden, det vill säga inte gör extra varv, och inte går "runt fel väg".

Avståndet mellan två punkter, mätt längs loxodrom, är helt enkelt [[Trigonometrisk funktion|sekant]]ens absolutvärde för bäringen (azimuten) gånger det nord-sydliga avståndet (utom för [[latitud]]cirklar, för vilka avståndet blir oändligt).

== Referenser ==
<references/>

[[Kategori:Geodesi]]
[[Kategori:Sjöfart]]
[[Kategori:Navigation]]