Visa källa för Komplexa tal

[[Fil:Arganddiagram.png|mini|stående=0.8|Det komplexa talplanet ([[arganddiagram]]). Varje komplext tal representeras av en realdel (''Re'') och en imaginärdel (''Im'')]]
De '''komplexa talen''' kan ses som en utvidgning av de [[reella tal]]en. Ett komplext tal kan skrivas som
:<math>z\ = a + \mathrm i b</math>
där det reella talet ''a'' är '''realdelen''', det reella talet ''b'' är '''imaginärdelen''' och '''i''' är den [[imaginära enheten]] med egenskapen
:<math>\ \mathrm i^2\ = {-1}</math>

Om ''b'' ≠ 0 så är ''z'' ett icke reellt komplext tal (till exempel 2 + 4i), och om ''a'' = 0 kallas talet rent imaginärt (till exempel 4i).<ref>Weisstein, Eric W., "[http://mathworld.wolfram.com/ComplexNumber.html Complex Number]" {{En ikon}}, ''[[MathWorld]]''.</ref>

Mängden av komplexa tal betecknas med '''C'''<ref>http://www.math.kth.se/~skjelnes/KURS/GYMNAS/10/Forelesning220311Gymnas.pdf {{PDF}}</ref> eller ℂ, och utgör en [[kropp (algebra)|kropp]].

== Definitioner ==
De första matematikerna som på 1500-talet började räkna med komplexa tal ansåg att kvadratrötter ur negativa tal egentligen inte existerade, utan var "imaginära" (det vill säga "inbillade"), medan de reella talen var "verkliga". Detta språkbruk lever kvar, trots att det sedan länge är känt att komplexa tal är precis lika "verkliga" som de reella talen. Mängden av komplexa tal '''C''' kan nämligen formellt definieras med hjälp av enbart reella tal och de vanliga aritmetiska operationerna för dessa. Man definierar då<ref>{{Webbref|url=http://www.users.abo.fi/togustaf/DiffE/KomplexaTal.pdf|titel=Komplexa tal|hämtdatum=14 oktober 2013}} {{PDF}}</ref> '''C''' som mängden '''R'''<sup>2</sup>av ordnade talpar (''a, b''), där ''a'' och ''b'' tillhör den [[reella tal|reella talmängden]] '''R''', tillsammans med [[operator]]erna + och ·, vilka ges av föreskrifterna
:<math>(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)</math> 
och
:<math>(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, bc + ad)</math>.

Definierad på detta sätt utgör '''C''' en (algebraisk) [[Kropp (algebra)|kropp]], i likhet med mängden '''R''' av reella tal. Det innebär att de fyra vanliga räknesätten, alltså [[addition]], [[subtraktion]], [[multiplikation]] och [[Division (matematik)|division]], är definierade på '''C''' och uppfyller de vanliga reglerna (så att bland annat addition och multiplikation är [[associativ]]a och [[kommutativ]]a operationer, multiplikation är [[Distributivitet|distributiv]] med avseende på addition och subtraktion, och subtraktion respektive division kan ses som addition respektive multiplikation med [[inverst element|inversa element]]).

Till skillnad från de reella talen saknar de komplexa talen en naturlig ordning. De reella talen kan tänkas ordnade på en ''tallinje'', med de mindre talen till vänster om de större talen. De komplexa talen får man i stället tänka sig i ett '''talplan''', där talet (''a'', ''b'') tolkas som punkten med koordinaterna ''a'' och ''b''. Dessa koordinater kallas för '''realdelen''' respektive '''imaginärdelen''' för talet (''a'', ''b''). Observera särskilt att både realdelen ''a'' och imaginärdelen ''b'' är reella tal.

Det komplexa talplanet kallas också för [[Arganddiagram]]met.

Delmängden av de komplexa talen av typen (''a'', 0) motsvarar de [[reella tal]]en, så att (''a'', 0) kan "identifieras med" ''a'' och den imaginära enheten ''i'' är det komplexa talet (0, 1). Med dessa konventioner och med definitionerna av multiplikation och addition ovan, får man
:<math>(a, b) = (a,0) + (0,b) = (a,0) + (b,0) \cdot (0,1) = a + b \cdot \mathrm{i} = a + b\mathrm i</math>

Alla tal (0, ''b''), det vill säga alla tal ''b''⋅i, sägs vara ''rent imaginära''. De rent imaginära talen blandas ibland ihop med "imaginärdelar", men imaginärdelen av det rent imaginära talet ''b''i är enligt definitionen ovan det reella talet ''b''.

== Rektangulär form ==
Representationen av ett komplext tal på formen
:<math>z\ = a + b\,\mathrm i</math>
kallas '''rektangulär form'''.

För 
:<math>z = a + b\,\mathrm i = (a,\,b)</math> 
är [[projektion_(algebra)|projektion]]sfunktionerna definierade som
:<math>\mathrm{Re}(z) = a:</math> realdelen av ''z'' 
och
:<math>\mathrm{Im}(z) = b:</math> imaginärdelen av ''z''.

== Polär form ==
[[Fil:Polar Argand-diagram.png|miniatyr|Ett komplext tal framställt i polär form där ''r'' är talets absolutbelopp och ''φ'' är talets argument]]

Enligt [[Eulers formel]] gäller
:<math>\mathrm{e}^{\mathrm i\varphi} = \cos \varphi + \mathrm i\,\sin \varphi</math>
vilket innebär att ett allmänt komplext tal kan skrivas som
:<math>\ z = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm i\varphi}=r\ (\cos \varphi\ +\mathrm i\,\sin \varphi)</math>
där ''r'', absolutbeloppet, är avståndet till [[origo]] i det komplexa talplanet och ''φ'' är vinkeln mellan den reella axeln och en linje genom origo och talets punkt i det komplexa talplanet.

Vinkeln ''φ'' kallas '''argumentet''' (arg) för 
:<math>z = a + b\mathrm i</math> 
och bestäms enligt
:<math>\varphi = \arg z = \begin{cases}
\arctan\cfrac b a & \quad a > 0 \\
\arctan\cfrac b a + \pi& \quad b \ge 0 ,\ a < 0 \\
\arctan\cfrac b a - \pi& \quad b < 0 ,\ a < 0 \\
+\cfrac{\pi}{2} & \quad b > 0 ,\ a = 0 \\
-\cfrac{\pi}{2} & \quad b < 0 ,\ a = 0 \\
\text{odefinierad} & \quad b = 0,\ a = 0
\end{cases}</math>

Intervallet för argumentet är (−π, π], vilket kallas [[principalvärde|principalargumentet]], kan mappas till [0, 2π) genom att 2π adderas till negativa värden. Argumentet kan omfatta alla intervall som är en heltalsmultipel av 2π.

För datorbaserade beräkningar kan det vara lämpligt att använda funktionen ''atan2''(''b'', ''a'') om denna är implementerad.

== Absolutbelopp ==
{{Huvudartikel|Absolutbelopp}}
'''Absolutbeloppet''' av ett komplext tal ''z'' = ''a'' + ''b''i kan i det komplexa talplanet tolkas som avståndet från origo till punkten ''(a, b)'' och beräknas som
:<math>r= \sqrt{a^2 + b^2}</math>
eller
:<math>r= \sqrt{\mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)^2}</math>
För absolutbeloppet gäller
:<math>|z_1 \cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2|</math>
:<math>\left|{z_1 \over z_2} \right | = {|z_1|\over |z_2|}</math>
:<math>|z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|\ </math> ([[triangelolikheten]])
:<math>|z_1-z_2|\geq ||z_1|-|z_2||\ </math>
:<math>|z|=\sqrt{z \bar z}</math>

== Konjugat ==
'''[[Komplexkonjugat|Konjugatet]]''' till ett komplext tal ''z'' = ''a'' + ''b''i definieras som
:<math>\bar{z} = a - b\,\mathrm i</math>
Ett komplext tals konjugat kan bildas genom att spegla dess imaginärdel i ''x''-axeln:
:[[Fil:ComplexaTalplanet.svg|vänster|140px]]
{{clear|left}}
Om talet är givet på polär form kan konjugatet bildas genom teckenbyte för argumentet:
:<math>\overline{z} = \overline{r\,\mathrm{e}^{\mathrm i\varphi}} = r\,\mathrm{e}^{-\mathrm i\varphi}</math>
För konjugatet gäller
:<math>\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w} \!\ </math>
:<math>\overline{zw} = \overline{z}\; \overline{w} \!\ </math>
:<math>\left| \overline{z} \right| = \left| z \right|</math>
:<math>z\bar{z} = \bar{z}z = a^2 + b^2 = |z|^2</math>

De reella och imaginära delarna kan extraheras med hjälp av konjugatet:
:<math>\mathrm{Re}\,(z) = \tfrac{1}{2}(z+\bar{z})</math>
:<math>\mathrm{Im}\,(z) = \tfrac{1}{2\mathrm i}(z-\bar{z})</math>

== Räkneregler ==
[[Fil:ComplexAddition.png|miniatyr|Komplex addition]]
[[Fil:MultiplicationWithI.png|miniatyr|Multiplikation med ''i'' motsvarar en rotation av 90 grader moturs. 
Division med ''i'' motsvarar en rotation av 90 grader medurs]]

=== Rektangulär form ===
==== Addition ====
:<math>\,(a + b\,\mathrm i) + (c + d\,\mathrm i) = (a + c) + (b + d)\,\mathrm i</math>
De reella och de imaginära delarna adderas var för sig.

==== Subtraktion ====
:<math>\,(a + b\,\mathrm i) - (c + d\,\mathrm i) = (a - c) + (b - d)\,\mathrm i</math>
I analogi med addition, subtraheras de reella och imaginära delarna var för sig.

==== Multiplikation ====
:<math>\begin{align}
\,(a + b\,\mathrm i)(c + d\,\mathrm i) &= ac + bc\,\mathrm i + ad\,\mathrm i + bd\,\mathrm i^2 =\\
    &= (ac - bd) + (bc + ad)\,\mathrm i \\
\end{align}</math>

==== Division ====
:<math>{a+b\,\mathrm i\over c+d\,\mathrm i} = {(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)\over (c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = {ac + bd \over c^2 + d^2}+{bc - ad \over c^2+d^2}\,\mathrm i</math>

''Exempel:''
:<math>\begin{align}
{2-\mathrm i\over 3+\mathrm i} &= {(2-\mathrm i)(3-\mathrm i)\over (3+\mathrm i)(3-\mathrm i)} = {6-2\mathrm i-3\mathrm i+\mathrm i^2 \over 9-\mathrm i^2} = \\
&= {5-5\mathrm i \over 10} = {1-\mathrm i \over 2} = {1\over 2} - {1\over 2}\mathrm i \\
\end{align}</math>

Bråket förlängs med nämnarens konjugat. Därmed elimineras nämnarens imaginära del och kvoten fås på formen ''a'' + ''b''i.

=== Polär form ===
Låt 
:<math>\ z_1 = r_1 \mathrm{e}^{\mathrm i \varphi_1};\quad z_2 = r_2 \mathrm{e}^{\mathrm i \varphi_2}</math>
Då gäller enligt räknereglerna för exponentiella tal
* <math>\ z_1 z_2 = r_1 r_2\mathrm{e}^{\mathrm i(\varphi_1+\varphi_2)}</math>
* <math>\ {z_1 \over z_2} = {r_1 \over r_2}\mathrm{e}^{\mathrm i(\varphi_1-\varphi_2)}</math>

Av detta följer
* <math>\ \arg {z_1 z_2} = \arg z_1 + \arg z_2</math>
* <math>\ \arg {z_1 \over z_2} = \arg z_1 - \arg z_2</math>

''Exempel'':
Om ''z'' skrivs i polär form som
:<math>z = r(\cos\varphi + \mathrm i\,\sin\varphi)</math>
är ''n'':te [[Rot av tal|roten]] av ''z''
:<math>\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]r \left(\cos \frac{\varphi}{n} + \mathrm i\,\sin \frac{\varphi}{n}\right)</math>

=== Övrigt ===
För beräkningar utförda för hand är det lämpligt att använda den rektangulära formen för addition och subtraktion och den polära formen för multiplikation och division.

== Funktioner av komplexa tal ==
[[Fil:Sin1perz.png|miniatyr|Färghjulsgraf av <math>\scriptstyle{\sin(1/z)}</math>. Svarta partier representerar komplexa funktionsvärden som har stora absolutbelopp]]

De analytiska funktioner som är definierade för de reella talen är också definierade för de komplexa talen. Några av dem är entydigt definierade, andra är flervärda funktioner.

=== Exponentialfunktionen ===
Enligt de kända [[Taylorserie#Lista över Maclaurinserier|serieutveckling]]arna för reella ''x'' av
:<math>\sin x = x - {x^3 \over 3!} + {x^5 \over 5!} - {x^7 \over 7!} + ...</math>
:<math>\cos x = 1 - {x^2 \over 2!} + {x^4 \over 4!} - {x^6 \over 6!} + ...</math>
:<math>\mathrm{e}^x = 1 + {x \over 1!} + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + ...</math>

framgår att exponentialfunktionen e<sup>''z''</sup> för komplexa ''z'' enligt
:<math>\mathrm{e}^{\mathrm ix} = \cos x + \mathrm i\,\sin x</math> 
kan definieras genom serien
:<math>\mathrm{e}^z= \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>
Serien är konvergent för alla ''z''.

=== Logaritmfunktionen ===
Utifrån exponentialfunktionen kan den komplexa logaritmen definieras och är en flervärd funktion.

Den komplexa logaritmen definieras som 
:<math>\log\, z = \log|z|+\mathrm i(\arg z + 2n\pi)</math> 
och de flesta logaritmlagar som gäller för de reella talen gäller också för den komplexa logaritmen. 

Med hjälp av logaritmfunktionen kan till exempel roten av komplexa tal bildas då
:<math>\ z^{\frac{1}{2}} = \mathrm{e}^\frac{\log z}{2} </math>
vilket lätt kan beräknas. 

Observera att med denna definition, erhålls två lösningar även när ''z'' är ett reellt tal.

=== Trigonometriska funktioner ===
Trigonometriska funktioner av komplexa tal är entydigt definierade enligt
:<math>\sin z = {{\mathrm{e}^{\mathrm i z} - \mathrm{e}^{-\mathrm i z}} \over {2 \mathrm i}}</math>
:<math>\cos z = {{\mathrm{e}^{\mathrm i z} + \mathrm{e}^{-\mathrm i z}} \over {2}}</math>
:<math>\tan z = {{\mathrm{e}^{\mathrm i z} - \mathrm{e}^{-\mathrm i z}} \over \mathrm i\,(\mathrm{e}^{\mathrm i z} + \mathrm{e}^{-\mathrm i z})}</math>

Funktionernas inverser blir som för reella tal flervärda funktioner.

==Seriers konvergens==
Antag en summa av ''n'' komplexa tal:
:<math>S_n = \sum_{j=1}^{n}c_j=c_1+c_2+\dots+c_n\quad n=1,2,\dots</math>
Om följden <math>\left\{S_n\right\}_{n=1}^{\infty}</math>
har ett gränsvärde ''S'' är den oändliga serien <math>\sum_{j=1}^{\infty}c_j</math> konvergent med summan ''S'':
:<math>\sum_{j=1}^{\infty}c_j = S</math>
Termerna ''c<sub>j</sub>'' kan skrivas
:<math>c_j=a_j+\mathrm{i}\,b_j\quad j=1,\dots, n\quad a_j,b_j\in \R</math>
och således
:<math>S_n = \sum_{j=1}^{n}c_j=\sum_{j=1}^{n}a_j + \mathrm{i}\sum_{j=1}^{n}b_j</math>
Serien <math>\left\{S_n\right\}_{n=1}^{\infty}</math> konvergerar, om och endast om, delserierna konvergerar och då är
:<math>\lim_{j\,\rightarrow\,\infty}c_j=0</math>

== Matriser ==
2&times;2-[[matris]]er av formen
:<math>Z = \begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix} = a \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix} + b \begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix} = a \cdot E + b \cdot I;\quad a,b\in\R</math>
kan användas för att representera komplexa tal där ''E'' är en [[enhetsmatris]] och matrisen ''I'' motsvarar den imaginära enheten. Då gäller
:<math>\mathrm{Re}(Z) = a</math>
:<math>\mathrm{Im}(Z) = b</math>
:<math>I^2 = -E;\quad\text{analogt med } \mathrm i^2 = -1</math>
:<math>|Z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{\det Z}</math>
Reella tal motsvaras av [[diagonalmatris]]en
: <math>\begin{bmatrix}a&0\\0&a\end{bmatrix}</math>
De [[linjär avbildning|linjära avbildningar]] som svarar mot dessa matriser spänner upp ℝ².

== Användningsområden ==
Komplexa tal är grundläggande för delar av matematiken. Enligt [[algebrans fundamentalsats]] har en ekvation av typen ''p''(''x'') = 0, där ''p'' är ett [[polynom]] av graden ''n'', exakt ''n'' komplexa rötter. Detta medför att de komplexa talen utgör en [[Kropp (algebra)|algebraiskt sluten kropp]]. 
Om ''p'' endast har reella koefficienter och ''x'' är en rot till ''p''(''x'') = 0, så är även konjugatet till ''x'' en rot.

=== Komplexa tal inom fysiken ===
Komplexa tal är mycket användbara inom fysiken, till exempel för att beskriva [[vågrörelse]]r eller svängningar inom [[elektromagnetism]]en. Detta på grund av att man med komplexa tal samtidigt hanterar både absolutbelopp och fasvinkel, vilket är till stor nytta för att beräkna belopp och fasförskjutningar för spänningar och strömmar.

Med [[jω-metoden]] (j-omega-metoden) behandlas växelströmsproblem i nära analogi med motsvarande likströmsproblem genom införande av komplexa [[impedans]]er.

Inom elektrotekniken används ofta komplexa tal i olika slag av [[transform]]er, som till exempel [[Fouriertransformen]] och [[Laplacetransformen]], för att underlätta vid beräkningar av växelströmsförlopp.

Inom [[kvantmekanik]]en är de grundläggande [[vågfunktion]]erna komplexa.

I [[strömningsmekanik]] används komplexa funktioner för [[konform avbildning|konforma avbildningar]].

== Historik ==
Under [[1500-talet]] förekom [[kvadratrot|kvadratrötter]] ur negativa tal i de lösningar till tredje- och fjärdegradsekvationer som upptäcktes av de italienska matematikerna [[Niccolo Fontana Tartaglia]] och [[Gerolamo Cardano]]. Även om man bara var intresserade av reella lösningar, ledde dessa formler ibland till sådana kvadratrötter som mellanresultat.

Namnet [[imaginära tal|''imaginära'']] för sådana tal myntades av [[René Descartes]] på [[1600-talet]] och man betraktade dem länge med stor misstänksamhet. Komplexa tal accepterades först efter att deras geometriska tolkning hade beskrivits och publicerats av [[Caspar Wessel]] [[1799]]. Denna beskrivning återupptäcktes flera år senare av bland andra [[Carl Friedrich Gauss]]. Den moderna definitionen som ett par av reella tal infördes under [[1800-talet]] av [[William Rowan Hamilton]].

Flera av [[Leonhard Euler]]s mest betydande upptäckter vilar väsentligt på införande av komplexa tal. [[Niels Henrik Abel|Abels]] skapelse, de elliptiska funktionerna, förde än mer de komplexa talen i förgrunden inom matematisk forskning. Så blev ytterligare fallet, när den moderna funktionsteorin framväxte ur Abels, Cauchys, Weierstrass och Riemanns arbeten.

[[Carl Friedrich Gauss]] och [[Karl Weierstrass]] arbeten har visat, att införande av högre komplexa tal, bildade av flera än två grundenheter, inte medför fördelar jämförliga med dem som vinns genom införande av de av två grundenheter bildade komplexa talen.<ref>{{runeberg.org|nfbn|0377.html Komplexa tal}}</ref>

== Likheter och skillnader med vektorer ==
Komplexa tal och tvådimensionella reella [[vektor (matematik)|vektorer]] adderas enligt samma regler (är [[isomorfa]] under addition), [[absolutbeloppet|absolutbeloppen]] är desamma, och båda kan [[Proportionalitet (matematik)|skalas]] med ett reellt tal.

Vektorer har en [[skalärprodukt|inre produkt]] som är ett reellt tal. För komplexa tal är det enkelt att skapa en funktion motsvarande skalärprodukten, men en sådan är inte en bärande del av de komplexa talens struktur. En möjlig sådan funktion är
:<math>s(a, b) ={{ a \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot b} \over 2} </math>.

Den viktigaste skillnaden är att multiplikation inte är definierad för vektorer i den meningen att en multiplikation av två vektorer resulterar i en tredje vektor.

== Se även ==
{{Bokversion|Matematik}}
* [[Kvaternion]]
* [[Imaginärt tal]]
* [[Komplex analys]]
* [[Komplex vektor]]
* [[Polynom]]

== Referenser ==
=== Noter ===
<references/>
=== Källor ===
* Complex Analysis for Mathematics and Engineering av John H. Mathews & Russel W. Howell
== Externa länkar ==
*{{Commonscat|Complex numbers}}

{{Komplexa tal}}
{{Tal}}



{{auktoritetsdata}}

[[Kategori:Komplexa tal| ]]
[[Kategori:Wikipedia:Basartiklar]]
[[Kategori:Ugglan]]