Visa källa för Glatt funktion

[[Fil:Bump2D illustration.png|mini|En testfunktion i två variabler, vilket är en typ av glatt funktion.]]
En '''glatt funktion''', eller '''slät funktion''', är en funktion som kan deriveras oändligt många gånger. Varken den glatta funktion eller dess derivator har några "hörn", utan kan beskrivas som just släta. Mängden av alla glatta funktioner brukar betecknas ''C<sup>∞</sup>''.

Vissa menar att en funktion inte behöver vara oändligt deriverbar för att kallas glatt utan endast tillräckligt många gånger deriverbar för de aktuella syftena. Man kan då säga att funktionen är "tillräckligt glatt".

Funktioner kan också vara styckvis glatta. Ett enkelt exempel på detta är en vanlig fyrkantsvåg som är glatt överallt utom på just de värden där de "hoppar".

En [[komplex funktion]] som är [[differentierbar]] en gång på en [[öppen mängd]] är också både oändligt differentierbar (glatt) och analytisk på denna mängd.

== Exempel ==
* Alla [[polynom]] är oändligt deriverbara.
* ''e<sup>x</sup>'' är oändligt deriverbar.
* sin ''x'' och cos ''x'' är oändligt deriverbara.

== Differentierbarhetsklasser ==
Låt ''f'' vara definierad i en öppen mängd. Vi säger att ''f'' är av '''klass ''C<sup>k</sup>''''' om alla derivator till och med ordning ''k'' existerar och är kontinuerliga. En funktion är glatt, eller är av '''klass ''C<sup>∞</sup>''''', om den har oändligt många derivator. 

En funktion är [[analytisk funktion|analytisk]], eller av '''klass ''C<sup>ω</sup>''''', om den är glatt samt är lika med sin [[Taylorutveckling]] i varje punkt. Alla analytiska funktioner är alltså glatta, men en glatt funktion är inte nödvändigtvis analytisk. Exempel på funktioner som är glatta, men inte analytiska, är [[glatt funktion#Testfunktion|testfunktioner]]. Testfunktioner är glatta funktioner som är skilda från noll endast på ett kompakt område.

=== Exempel på funktioner av lägre differentierbarhetsklasser ===
[[Fil:TV pic3.png|mini|Funktionen ''f''(''x'')=''x''<sup>2</sup>&nbsp;sin(1/''x''), för ''x''&gt;0.]]
Funktionen 
:<math>f(x) = |x| \,</math> 
är en kontinuerlig funktion, men inte deriverbar i ''x''=0. Därför är den klass ''C<sup>0</sup>''.

Funktionen
:<math>f(x)=\left\{\begin{matrix} x^2, & \mbox{om }x \ge 0 \\ -x^2, & \mbox{om }x < 0 \end{matrix}\right.</math>
är deriverbar och dess [[derivata]] är kontinuerlig, men inte deriverbar. Därför ligger funktionen i ''C<sup>1</sup>''.

Funktionen
:<math>f(x) = \begin{cases}x^2\sin{(1/x)} & \mbox{om }x \neq 0, \\ 0 &\mbox{om }x = 0\end{cases}</math>
har derivatan
:<math>f'(x) = \begin{cases}-\mathord{\cos(1/x)} + 2x\sin{(1/x)} & \mbox{om }x \neq 0, \\ 0 &\mbox{om }x = 0.\end{cases}</math>
Derivatan i sin tur är inte kontinuerlig i noll eftersom cos(1/''x'') svänger när x närmar sig noll. Funktionen är alltså differentierbar, men då derivatan inte är kontinuerlig ligger den i ''C<sup>0</sup>''.

=== Differentierbarhetsklasser i flera variabler ===
En funktion av flera variabler, ''f'', från en öppen mängd sägs tillhöra '''klass ''C<sup>k</sup>''''' om alla [[partiell derivata|partiella derivator]] av ordning k existerar och är kontinuerliga<ref>Persson och Böiers, ''Analys i flera variabler'', 3:e upplagan, 2005</ref>. Klasserna ''C<sup>∞</sup>'' och ''C<sup>ω</sup>'' definieras som tidigare.

== Testfunktion ==
[[Fil:Mollifier illustration.png|mini]]
En '''testfunktion''' (eng. ''bump function'', ungefär ''vägbulefunktion'') är en funktion <math>f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}</math> i det [[euklidiskt rum|euklidiska rummet]] som är både glatt och endast skild från noll i en kompakt mängd (man säger att den har kompakt stöd). Mängden av alla testfunktioner brukar betecknas <math>C_0^\infty</math> eller <math>D</math>.

Funktionen
:<math>f(x) = \begin{cases}e^{-1/(1-x^2)} & \mbox{om } |x| < 1, \\ 0 &\mbox{annars }\end{cases}</math>
är ett exempel på en testfunktion av en variabel.

== Tillämpningar ==

=== Glatta mångfalder ===
:''Huvudartikel: [[Mångfald (matematik)]]''

Mångfald är en yta i flera dimensioner. En mångfald är glatt om överföringsavbildningarna (de funktioner som beskriver hur man omvandlar mellan olika parametriseringar) är glatta.

=== Partition av enhet ===
Låt ''X<sub>1</sub>, ..., X<sub>k</sub>'' vara en öppen mängd i '''R'''<sup>n</sup> och låt ''Ф'' vara en testfunktion med stöd från unionen av ''X<sub>1</sub>, ..., X<sub>k</sub>''. Då kan ''Ф'' skrivas som 
:<math>\Phi = \sum_{j=1}^k \Phi_j</math>
där ''Ф<sub>1</sub>'', ..., ''Ф<sub>k</sub>'' är testfunktioner med stöd ''X<sub>1</sub>, ..., X<sub>k</sub>''.<ref>Hörmander, ''The Analysis of Linear Partial Differential Operators I'', 2nd edition, 1990</ref>

Ett vanligt förekommande fall av partition av enheten är då man vill dela upp en funktion, ''f'', för att studera dess integral i mindre bitar. Man väljer ''Ф'' = 1, sedan multiplicerar man varje testfunktion ''Ф<sub>j</sub>'' med funktionen ''f''. Då blir
: <math>\int f \ dx = \sum_{j=1}^k \int f \cdot \Phi_j \ dx</math>
Notera att produkten blir noll överallt utom på den "lilla bula" där ''Ф<sub>j</sub>'' ≠ 0.

== Referenser ==
<references/>

== Se även ==
*[[Kontinuerlig funktion]]
*[[Analytisk funktion]]


[[Kategori:Glatta funktioner]]