Visa källa för Giugatal

'''Giugatal''' är ett [[sammansatt tal]] ''n'' sådant att för varje av dess distinkta primtalsfaktorer ''p''<sub>''i''</sub> har vi <math>p_i | ({n \over p_i} - 1)</math>, eller ekvivalent, <math>p_i^2 | (n - p_i)</math>.

Giugatal är uppkallade efter matematikern [[Giuseppe Giuga]], och avser [[Agoh–Giugas förmodan|hans förmodan]] om primtal.

== Definitioner ==
En alternativ definition av Giugatal av [[Takashi Agoh]] är: ett sammansatt tal ''n'' är ett Giugatal [[om och endast om]] kongruensen

:<math>nB_{\varphi(n)} \equiv -1 \pmod n</math> 

gäller, där ''B'' är ett [[Bernoullital]] och <math>\varphi(n)</math> är [[Eulers fi-funktion]].

En ekvivalent formulering av Giuseppe Giuga är: ett sammansatt tal ''n'' är ett Giugatal om och endast om kongruensen

:<math>\sum_{i=1}^{n-1} i^{\varphi(n)} \equiv -1 \pmod n</math>

och om och endast om

:<math>\sum_{p|n} \frac{1}{p} - \prod_{p|n} \frac{1}{p} \in \mathbb{N}.</math>

Alla kända Giugatal ''n'' uppfyller även förhållandet

:<math>\sum_{p|n} \frac{1}{p} - \prod_{p|n} \frac{1}{p} = 1.</math>

== Exempel ==
De första Giugatalen är:

:[[30 (tal)|30]], [[858 (tal)|858]], [[1722 (tal)|1722]], [[66198 (tal)|66198]], [[2214408306 (tal)|2214408306]], [[24423128562 (tal)|24423128562]], [[432749205173838 (tal)|432749205173838]], [[14737133470010574 (tal)|14737133470010574]], [[550843391309130318 (tal)|550843391309130318]], [[244197000982499715087866346 (tal)|244197000982499715087866346]], [[554079914617070801288578559178 (tal)|554079914617070801288578559178]], [[1910667181420507984555759916338506 (tal)|1910667181420507984555759916338506]], … {{OEIS|A007850}}

Till exempel är 30 ett Giugatal då dess primtalsfaktorer är 2, 3 och 5, och vi kan verifiera att

* 30/2 − 1 = 14, vilket är delbart med 2
* 30/3 − 1 = 9, som är 3 i kvadrat
* 30/5 − 1 = 5, den tredje största primtalsfaktorn i sig

== Egenskaper ==
Primtalsfaktorerna för ett Giugatal måste vara distinkta. Om <math>p^2</math> delar <math>n</math>, då framgår det att <math>{n \over p} - 1 = n'-1</math> där <math>n'</math> är delbart med <math>p</math>. Därför skulle <math>n'-1</math> inte vara jämnt delbart med <math>p</math>, och således skulle <math>n</math> inte vara ett Giugatal.

Således är det endast [[Kvadratfritt tal|kvadratfria tal]] som kan vara Giugatal. Exempelvis är faktorerna av 60 är 2, 2, 3 och 5, och 60/2 - 1 = 29, vilket inte är delbart med 2. Således är 60 inte ett Giugatal.

Detta utesluter kvadrater av primtal, men [[semiprimtal]] kan inte vara Giugatal heller. Ty om <math>n=p_1p_2</math>, med <math>p_1<p_2</math> primtal så är <math>{n \over p_2} - 1 =p_1 - 1 <p_2</math> och då är <math>p_2</math> inte delbart med <math>{n \over p_2} - 1 </math> och således är <math>n</math> inte ett Giugatal.

Alla kända Giugatal är jämna. Om ett udda Giugatal existerar så måste det vara en produkt av minst 14 [[primtal]]. Det är inte känt om det finns oändligt många Giugatal.

Paolo P. Lava (2009) förmodade att Giugatal är lösningar till differentialekvationen n'=n+1 där n' är den [[Aritmetisk derivata|aritmetiska derivatan]] av n.

José Mª Grau och Antonio Oller-Marcén har visat att ett heltal n är ett Giugatal om och endast om det uppfyller n'= an +1 för något heltal a>0, där n' är den aritmetiska derivatan av n.

== Se även ==
* [[Carmichaeltal]]
* [[Primärt pseudoperfekt tal]]

== Källor ==
* {{Enwp|url=//en.wikipedia.org/w/index.php?title=Giuga_number&oldid=579454568|artikel=Giuga number|datum=2 januari 2014}}
* {{MathWorld|title=Giuga Number|urlname=GiugaNumber}}
* {{Cite journal | author1-link=David Borwein | last1=Borwein | first1=D. | author2-link=Jonathan Borwein | last2=Borwein | first2=J. M. | author3-link=Peter Borwein | last3=Borwein | first3=P. B. | last4=Girgensohn | first4=R. | title=Giuga's Conjecture on Primality | journal=[[American Mathematical Monthly]] | volume=103 | pages=40–50 | year=1996 | zbl=0860.11003 | url=http://www.math.uwo.ca/~dborwein/cv/giuga.pdf | archiveurl=https://web.archive.org/web/20050531164907/http://www.math.uwo.ca/~dborwein/cv/giuga.pdf | archivedate=2005-05-31 }}
* {{Bokref|förnamn1=Giorgio |efternamn1=Balzarotti |förnamn2=Paolo P. |efternamn2=Lava |titel=Centotre curiosità matematiche |utgivningsort=Milan |utgivare=Hoepli Editore |år=2010 |isbn=978-88-203-4556-3 |sid=129 }}

{{Naturliga tal}}

[[Kategori:Heltalsmängder]]
[[Kategori:Olösta matematiska problem]]