Visa källa för Gitter (ordning)

{{Wiktionary-box}}
Ett '''gitter''' eller '''lattice''' är inom matematiken en [[partiellt ordnad mängd]] i vilken varje par av element har en [[Supremum|minsta övre gräns]] och en [[Infimum|största undre gräns]]. De kan även kategoriseras som [[algebraisk struktur|algebraiska strukturer]] som uppfyller vissa [[axiomatisk identitet|axiomatiska identiteter]]. Varje gitter kan representeras av ett [[Hassediagram]].

== Gitter som partiellt ordnade mängder ==
En partiellt ordnad mängd (''L'',<nowiki><</nowiki>) är ett gitter om varje par av element i mängden har en minsta övre gräns och en största undre gräns. För ett sådant par (a, b) betecknas den minsta övre gränsen med ''a'' <math>\lor</math> ''b'', den största undre gränsen med ''a'' <math>\land</math> ''b''. På detta vis definierar vi gränserna som [[binär operation|binära operationer]]. Motsvarande [[mängdoperation]], att från en icke-tom ändlig delmängd <math>A=\{a_1,\ldots,a_n\} \subseteq L</math> erhålla minsta övre gräns (respektive största undre gräns) betecknas <math>\bigvee A=a_1\lor\cdots\lor a_n</math> (resp.<math>\bigwedge A=a_1\land\cdots\land a_n</math>). Gittret är '''komplett''' om mängdoperationen kan utsträckas till alla delmängder av ''L'', även den tomma mängden och eventuella oändliga delmängder.

Ett gitter (L, <math>{\land},  {\lor})</math> kallas en [[Boolesk algebra]] om det är [[distributivitet|distributivt]] och varje element har ett [[komplement]].
Ett '''slutet gitter''' har ett största och ett minsta element, vilka normalt betecknas med 1 respektive 0. Ett komplett gitter är alltid slutet, med <math>1=\bigwedge \emptyset</math> och {{nowrap|<math>0=\bigvee \emptyset</math>.}} Omvänt är ett ändligt slutet gitter alltid komplett.

== Se även ==
* [[Gitter (grupp)]]

== Källor ==

* Birkhoff, G. Lattice Theory, Am. Math. Soc., 1967.
* Bäckström, Karl-Johan, Diskret matematik, Studentlitteratur, 1986.


[[Kategori:Algebraiska strukturer]]
[[Kategori:Gitterteori| ]]