Visa källa för Epimorfi

I [[kategoriteori]]n är '''epimorfier''' eller '''epimorfismer''' generaliseringar av [[surjektiv]]a [[funktion]]er. I många vanliga [[Konkret kategori|konkreta kategorier]] är morfismen '''epi''' eller '''epimorf''', precis om den är surjektiv i vanlig mening. Exempelvis är en [[grupphomomorfi]] eller en [[homomorfi]] i kategorin av [[vänstermodul]]er över en viss [[ring (matematik)|ring]] '''epi''' eller '''epimorf''', d.&nbsp;.v&nbsp;s. en epimorfi, precis om den är surjektiv. Detta samband gäller dock inte i alla kategorier.

Surjektioner har en viss [[universell egenskap]], och en ''epimorfi'' är helt enkelt en [[morfism]] som har just denna egenskap.

== Formell definition ==
Låt '''''C''''' vara en kategori α vara en morfism i kategorin. α säges vara ''epi(morf)'' eller ''en epimorfi(sm)'', om  för varje par (β,γ) av morfismer i '''''C''''', sådana att både βα och γα är definierade, så gäller [[implikation]]en
:(1) <math> \beta\alpha = \gamma\alpha \Rightarrow \beta = \gamma.</math>

Denna egenskap gäller verkligen just för de surjektiva funktionerna i kategorin '''''Set''''' av mängder och vanliga (mängdteoretiska) funktioner. Ett formellt bevis för detta kan se ut så här:
:Säg att α&nbsp;:&nbsp;''A''&nbsp;→&nbsp;''B'' är en sådan funktion, och att båda funktionssammansättningarna βα och γα är definierade. Detta innebär att β&nbsp;:&nbsp;''B''&nbsp;→&nbsp;''C'' och γ&nbsp;:&nbsp;''B''&nbsp;→&nbsp;''D'' för några mängder ''C'' och ''D''. Om dessutom funktionerna βα och γα är lika (betraktade som morfismer i '''''Set'''''), så måste deras [[målmängd]]er sammanfalla, d.&nbsp;v&nbsp;s. det måste gälla att ''C''&nbsp;=&nbsp;''D''. Gäller nu dessutom att α är surjektiv, så finns det för varje element ''x&isin;B'' något element ''y&isin;A'', sådant att α(''y'')&nbsp;=&nbsp;''x'', och då gäller också att
::<math>\beta(x) = \beta\alpha(y) = \gamma\alpha(y) = \gamma(x).</math>
:Eftersom ''x'' var ett [[godtycklig (matematik)|godtycklig]]t element i den gemensamma [[definitionsmängd]]en ''B'' för β och γ, måste i detta fall också dessa vara lika som funktioner. Det betyder, att α mycket riktigt då uppfyller villkoret (1).
:Å andra sidan, om α ''inte'' är surjektiv, så finns något ''x&isin;B'', som ''inte'' ligger i [[värdemängd]]en för α. Då kan vi konstruera två olika funktioner β och γ, sådana att funktionssammansättningarna βα och γα är definierade och lika; så α har då ''inte'' egenskapen (1). Man kan exempelvis definiera β och γ genom att låta deras gemensamma målmängd vara <math>B \cup \{0,1\}</math>, och sätta β(''z'')&nbsp;=&nbsp;γ(''z'')&nbsp;=&nbsp;''z'' för alla andra ''z&isin;B'' än ''x'', men sätta β(''z'')&nbsp;=&nbsp;0 och γ(''z'')&nbsp;=&nbsp;1.

== Splittrade epimorfier ==
Om α är en morfism från ''A'' till ''B'', och α har en [[högerinvers]] δ, så är α epi. Att δ är en högerinvers till α betyder ju att δ är en morfism från ''B'' till ''A'', sådan att sammansättningen αδ&nbsp;=&nbsp;id<sub>''B''</sub>. Om nu dessutom β och γ är två morfismer, sådana att βα och γα är definierade och lika, så måste också β vara lika med γ, som följande kalkyl visar:
:<math>\beta = \beta\circ\mathop{\rm id}_B = \beta \circ (\alpha\circ\delta) = (\beta\circ\alpha)\circ\delta = (\gamma\circ\alpha)\circ\delta = \gamma \circ (\alpha\circ\delta) = \gamma\circ\mathop{\rm id}_B = \gamma.</math>
Därför uppfyller mycket riktigt detta α definitionen på epimorfi. En sådan epimorfi kallas en '''splittrad epimorfi''' (eller '''splittrad epimorfism''').

I vissa kategorier är alla epimorfier splittrade. Att det gäller i '''''Set''''' är en konsekvens av [[urvalsaxiomet]], och faktiskt ekvivalent med detta: Om α&nbsp;:&nbsp;''A''&nbsp;→&nbsp;''B'' är en epimorfi i '''''Set''''', d.&nbsp;v.&nbsp;s. en surjektiv funktion från mängden ''A'' till mängden ''B'', så är för varje ''x''∈''B'' [[urbild]]en α<sup>-1</sup>(''x'') =&nbsp;{y∈''A''&nbsp;:&nbsp;α(''y'')&nbsp;=&nbsp;x} icke-tom. Därför är
:<math>F = \bigl( \alpha^{-1}(x) \bigr)_{x\in B}</math>
en familj av icke-tomma mängder. Enligt urvalsaxiomet existerar alltså en ''urvalsfunktion'' δ från [[indexmängd]]en ''B'', sådan att δ(''x'')&nbsp;∈&nbsp;α<sup>-1</sup>(''x'') för varje ''x'' i ''B''. Detta δ uppfyller precis det som en högerinvers skall uppfylla.

Ett exempel, från kategorin av grupper och grupphomomorfier, på en epimorfi som inte är splittrad, är
:α&nbsp;:&nbsp;'''Z'''&nbsp;→&nbsp;'''Z'''/2'''Z''',
som definieras genom att jämna [[heltal]] avbildas på nollklassen, och udda heltal avbildas på ettklassen (se [[kongruensklass]]). Homomorfin α är epi, eftersom den är surjektiv som funktion. Den är däremot inte splittrat epi, eftersom ingen grupphomomorfi kan avbilda ettklassen på något annat element än 0 i '''Z'''.

[[Kategori:Morfier]]