Visa källa för E (tal)

{{DISPLAYTITLE:e (tal)}}
{{Omdirigering|Eulers tal|heltalsföljden|Eulertal|konstanten|Eulers konstant}}
{{Irrationellt tal
| namn               = e
| symbol             = 
| bild               = Expfunction.png
| bildtext           = Exponentialfunktionen e<sup>''x''</sup> (röd). Endast för ''a''&nbsp;=&nbsp;e har [[Tangent (matematik)|tangenten]] (blå linje) till exponentialfunktionen ''a''<sup>''x''</sup> i punkten (0, 1) [[riktningskoefficient]]en 1.
| decimalt           = 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 ...
| binärt             = 
| oktalt             = 
| duodecimalt        = 
| hexadecimalt       = 
| sexagesimalt       = 
| diofantiska        = 
| kedjebråk          = 
| trigonometri       = 
| ref_decimaler      = 
| decimalutveckling  = 
}}

Talet '''e''', '''Nepers tal''' eller '''Eulers tal''' är den [[matematisk konstant|matematiska konstant]] som utgör basen för den [[naturliga logaritmen]], ln. Dess värde är ungefär lika med {{formatnum: 2.71828}}. "e" fick sin nuvarande beteckning av [[Leonhard Euler]] och kallas efter honom ibland ''Eulers tal''.<ref name=":0">{{Webbref|url=https://www.youtube.com/watch?v=AuA2EAgAegE|titel=e|hämtdatum=2017-01-19|efternamn=Numberphile|datum=2016-12-19}}</ref> Beteckningen ''Nepers tal'' syftar på [[John Napier]]. Talet är viktigt inom bland annat [[matematisk analys]] och förekommer lite varstans inom matematiken. Till exempel råder följande samband mellan nio av matematikens mest använda objekt:
:<math>{\rm e}^{\mathrm{i} \pi} + 1 = 0</math> 
Objekten som avses är operationerna [[addition]], [[multiplikation]], [[Potens (matematik)|exponentiering]] och relationen [[ekvation|likhet]], samt talen e, [[pi|π]], [[Imaginära enheten|i]], [[1 (tal)|1]] och [[0 (tal)|0]]. Sambandet kallas [[Eulers identitet]].

== Motivering==
Derivatan till den generella exponentialfunktionen ''y'' = ''a''<sup>''x''</sup> är definierad som [[gränsvärde]]t
:<math>\frac{d}{dx}a^x=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x}a^{h}-a^x}{h}=a^x\left(\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}\right)</math>
Gränsvärdet längst till höger är oberoende av variabeln ''x'' och beror endast av basen ''a''. När basen är e, är gränsvärdet = 1 och med e som bas kan exponentialfunktionen ses som sin egen derivata:
:<math>\frac{d}{dx}{\rm e}^x = {\rm e}^x</math>
Således är exponentialfunktionen med basen e särskilt lämpad för analysen till skillnad från något annat tal, då denna bas förenklar beräkningar som involverar dess derivata.

Derivatan till log<sub>''a''</sub>(''x'') är gränsvärdet
:<math>\frac{d}{dx}\log_a x = \lim_{h\to 0}\frac{\log_a(x+h)-\log_a(x)}{h}=\frac{1}{x}\left(\lim_{u\to 0}\frac{1}{u}\log_a(1+u)\right),</math>
där substitutionen ''u'' = ''h''/''x'' gjordes i sista steget. Det sista gränsvärdet i denna beräkning är återigen ett obestämt gränsvärde som endast beror på basen ''a'' och om basen är e, är detta gränsvärde = 1. Det enklaste uttrycket för derivatan är således
:<math>\frac{d}{dx}\log_e x=\frac{1}{x}</math>
Logaritmen i detta speciella fall kallas den [[naturliga logaritmen]].

== Definition och värde ==
[[Fil:Ln+e.svg|mini|Den naturliga logaritmens värde då ''x'' = e, ln(e), är lika med 1.]]
Talet e kan definieras på många sätt och det existerar ett stort antal metoder för att beräkna dess värde. Talet är till exempel bas för den [[naturliga logaritmen]] och är alltså en lösning till ekvationen
:<math>\ln x = 1</math>,
som också kan skrivas på formen
:<math>\int_{1}^{x} {1 \over t}\ dt = 1</math>
Eftersom ln är strängt växande<ref>Forsling, Göran och Neymark, Mats, ''Matematisk analys en variabel'', (2011), Liber  {{ISBN|978-91-47-10023-1}}</ref> är e det ''enda'' [[reella tal]] ''x'' som uppfyller sambanden.

e kan också definieras som [[gränsvärde]]t
:<math>{\rm e} = \lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>
vilket beror på sambanden
:<math>\lim_{h\to 0}\frac{{\rm e}^h-1}{h}=1</math>
:<math>\lim_{n \rightarrow 0}{\rm e}^h-1= h</math>
:<math>{\rm e} = \lim_{n \rightarrow 0}(1+h)^\frac{1}{h}</math>
:Sätt <math>\frac{1}{h}=n</math>, där <math>n\to \infty</math> då <math>h\to 0</math>
:<math>{\rm e} = \lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>

De sju första elementen i [[talföljd]]en 
:<math>\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n,\quad n = 1\dots\infty\quad</math> är
:<math>2 \quad 9/4 \quad 64/27 \quad 625/256 \quad 7776/3125 \quad 117649/46656 \quad 2097152/823543</math>
eller i decimalform, avrundat till tre decimaler:
:<math>2 \quad 2{,}250 \quad 2{,}370 \quad 2{,}441 \quad 2{,}488 \quad 2{,}522 \quad 2{,}546</math>
Talföjden [[Konvergens (matematik)|konvergerar]] tydligen ganska långsamt mot talet e.

Med hjälp av [[Taylorserie|maclaurinutveckling]] är det möjligt att skriva exponentialfunktionen som en [[Serie (matematik)|serie]]:
:<math>{\rm e}^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math>
där ''n''! är [[Fakultet (matematik)|fakulteten]] för ''n''. Serien kan även användas för att ge en definition av exponentialfunktionen i det komplexa området och kan användas som motivering till [[Eulers formel]].

I fallet då ''x'' = 1 ger serien värdet på e som
:<math>{\rm e} = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math>

Adderas de sju första termerna i serien
:<math>1 + 1 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6} \approx 2,718055</math>
fås en ganska god [[Närmevärde|approximation]] till e (med tre korrekta decimaler) vars oändliga decimalutveckling börjar {{formatnum:2.718281828459045}}… och vars fortsättning inte har något känt mönster.

== Egenskaper ==
===Allmänt===
Talet e är ett [[irrationella tal|irrationellt tal]],<ref name=":0" /> vilket innebär att det inte kan skrivas på formen ''a''/''b'', där ''a'' och ''b'' är [[heltal]]. År [[1873]] bevisade [[Charles Hermite]] att talet e även är ett [[transcendent tal]]. Det var därmed det första exemplet på ett "naturligt förekommande" transcendent tal.

Den kanske viktigaste egenskapen hos talet e är att [[exponentialfunktionen]], som den ger upphov till, är en [[Fixpunkt (matematik)|fixpunkt]] till [[operator|deriveringsoperatorn]]. Med andra ord är exponentialfunktionen opåverkad vid [[derivata|derivering]]:
:<math>{d \over dx}({\rm e}^x) = {\rm e}^x</math>
Egenskapen leder till att e ofta förekommer vid derivering och [[integral|integrering]] av exponentiella samband, vilket gör konstanten mycket användbar inom den [[matematisk analys|matematiska analysen]].

===Inom statistik===
Det enklaste fallet av [[normalfördelning]] kallas ''standardnormalfördelning'' och beskrivs av [[täthetsfunktion]]en
:<math>\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, {\rm e}^{- \frac{\scriptscriptstyle 1}{\scriptscriptstyle 2} x^2}</math>
Faktorn <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math> är nödvändig för att den totala arean under kurvan ''ϕ''(''x'') skall ha värdet 1. 1/2-faktorn i exponenten ger fördelningen variansen 1 (och därför också [[standardavvikelse]]n 1). ''ϕ''(''x'') är symmetrisk kring ''x'' = 0, där den antar sitt maximala värde <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math>.

===Komplexa tal===
Den exponentiella funktionen e<sup>''x''</sup> kan skrivas som [[Taylorserie|taylorserien]]
:<math> {\rm e}^{x} = 1 + {x \over 1!} + {x^{2} \over 2!} + {x^{3} \over 3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math>
Denna serie innehåller många viktiga egenskaper hos e<sup>''x''</sup> även när ''x'' är ett [[komplexa tal|komplext tal]] och därför är den ofta använd för att utsträcka definitionen av ''e''<sup>''x''</sup> till komplexa tal. Detta tillsammans med taylorserierna för de [[Trigonometrisk funktion|trigonometriska funktionerna]] sin och cos(''x''}, möjliggör en [[härledning]] av [[Eulers formel]]:
:<math>{\rm e}^{\mathrm{i}x} = \cos x + \mathrm{i}\sin x,\,\!</math>
vilken gäller för alla ''x''. Specialfallet med ''x'' = [[Pi|π]] är [[Eulers identitet]]:
:<math>{\rm e}^{\mathrm{i}\pi} + 1 = 0\,\!</math>
från vilken det följer att, i [[principalvärde|principalgrenen]] av logaritmen, är
:<math>\ln (-1) = \mathrm{i}\pi.</math>
Vidare, med användning av lagar för exponentiering är
:<math>(\cos x + \mathrm{i}\sin x)^n = \left({\rm e}^{\mathrm{i}x}\right)^n = {\rm e}^{\mathrm{i}nx} = \cos (nx) + \mathrm{i} \sin (nx),</math>
vilket är [[de Moivres formel]].

==Representationer==

===Oändliga serier===

Det finns ett stort antal oändliga serier för e:

:<math>{\rm e} =  \frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{k!}</math> 

:<math>{\rm e} =  2 \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{(2k+1)!}</math>

:<math>{\rm e} =   \sum_{k=0}^\infty \frac{3-4k^2}{(2k+1)!}</math>

:<math>{\rm e} =   \sum_{k=0}^\infty \frac{(3k)^2+1}{(3k)!}</math>

:<math>{\rm e} =   \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!} \right ]^2</math>

:<math>{\rm e} =  \left [ -\frac{12}{\pi^2} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \ \cos \left ( \frac{9}{k\pi+\sqrt{k^2\pi^2-9}} \right ) \right ]^{-1/3} </math>

:<math>{\rm e} =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^n}{B_n(k!)}</math> där <math>B_n</math> är [[Belltal]]en. Några exempel är:

:<math>{\rm e} =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k}{k!} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(k-1)!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}</math>

:<math>{\rm e} =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{2(k!)}</math>

:<math>{\rm e} =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^3}{5(k!)}</math>

:<math>{\rm e} =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^4}{15(k!)}</math>

:<math>{\rm e} =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^5}{52(k!)}</math>

:<math>{\rm e} =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^6}{203(k!)}</math>

:<math>{\rm e} =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^7}{877(k!)}</math>

===Oändliga produkter===
e kan också skrivas på flera sätt som en [[oändlig produkt]]:

:<math>{\rm e} = 2 \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left ( \frac{2}{3}\; \frac{4}{3} \right )^{1/4} \left ( \frac{4}{5}\; \frac{6}{5}\; \frac{6}{7}\; \frac{8}{7} \right )^{1/8} \cdots </math>

:<math>{\rm e} = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/1} \left (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \right )^{1/2} \left (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \right )^{1/3} 
\left (\frac{2^4 \cdot 4^4}{1 \cdot 3^6 \cdot 5} \right )^{1/4}  \cdots ,</math>

:<math>{\rm e} = \sqrt[1]{\frac{2}{1}}\cdot\sqrt[2]{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdots</math>

:<math>{\rm e} = \sqrt{3} \cdot \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{\left ( 2k+3 \right )^{k+\frac 12}\left ( 2k-1 \right )^{k-\frac 12}}{\left (2k+1 \right )^{2k}}</math>

:<math>{\rm e} = \frac{2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^2} \cdots}{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^3}\cdots }.</math>

===Kedjebråk===
Några [[kedjebråk]] för e är
:<math>{\rm e} = 2+
\cfrac{1}
   {1+\cfrac{1}
      {\mathbf 2 +\cfrac{1}
         {1+\cfrac{1}
            {1+\cfrac{1}
               {\mathbf 4 +\cfrac{1}
            {1+\cfrac{1}
               {1+\ddots}
                  }
               }
            }
         }
      }
   }
= 1+
\cfrac{1}
  {\mathbf 0 + \cfrac{1}
    {1 + \cfrac{1}
      {1 + \cfrac{1}
        {\mathbf 2 + \cfrac{1}
          {1 + \cfrac{1}
            {1 + \cfrac{1}
              {\mathbf 4 + \cfrac{1}
            {1 + \cfrac{1}
              {1 + \ddots}
                }
              }
            }
          }
        }
      }
    }
  }.
</math>

Följande kedjebråk konvergerar tre gånger snabbare:

:<math>{\rm e} = 1+\cfrac{2}{1+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{10+\cfrac{1}{14+\cfrac{1}{18+\cfrac{1}{22+\cfrac{1}{26+\ddots\,}}}}}}}.</math>

Andra kedjebråk är
: <math>
\begin{align}
\frac{{\rm e} + 1}{{\rm e} - 1} &=  [2; 6, 10, 14, \dots]  \\
  &= {2+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{10+\cfrac{1}{14+\cfrac{1}{\;\,\ddots}}}}}  \\
  & \approx  2,1639534137386 
\end{align}
</math>

: <math>
\begin{align}
{\rm e} &= 2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+\cfrac{3}{4+\cfrac{4}{5+\cfrac{5}{6+\cfrac{6}{7+\cfrac{7}{8+\dotsb}}}}}}}}
\end{align}
</math>

: <math> 
\begin{align}
{{\rm e}^z} &= 1+\cfrac{z}{1-\cfrac{1 z}{2+z-\cfrac{2 z}{3+z-\cfrac{3 z}{4+z-\cfrac{4 z}{5+z-\cfrac{5 z}{6+z-\cfrac{6 z}{7+z-\cfrac{7 z}{8+z-\dotsb}}}}}}}}
\end{align}
</math> &nbsp; &nbsp; <math> (z \in \Complex )</math>

===Gränsvärden===
Ett simpelt korollarium av [[Stirlings formel]]
:<math>n! \sim \sqrt{2\pi n}\, \left(\frac{n}{{\rm e}}\right)^n </math>
är 
:<math>{\rm e} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}</math>.

Andra gränsvärden är
:<math>{\rm e} = \lim_{n \to \infty} (\sqrt[n]{n})^{\pi(n)} </math>
:<math>{\rm e} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n\#} </math> 
:<math>{\rm e} = \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}- \frac{n^n}{(n-1)^{n-1}} \right ]</math>
där π(''n'') är [[primtalsfunktionen]] och ''n#'' betecknar [[primorial]].

== Historik ==
Den första publikationen med kopplingar till e är [[John Napier]]s verk om logaritmer från år [[1618]]. Verket inkluderar ett appendix som innehåller en tabell över värdet på ln(''x'') för ett antal ''x''. Själva talet e nämns dock inte. Även andra 1600-tals-matematiker, till exempel [[Nicholas Mercator]] - som införde begreppet ''naturlig logaritm'' i sitt verk ''Logarithmotechnia'', använde sig av logaritmer med bas e utan att konstanten dök upp. Talet upptäcktes först [[1683]] i samband med att [[Jakob Bernoulli]] försökte beräkna [[sammansatt ränta]] i fall då beloppet uppdateras kontinuerligt istället för periodiskt. Problemet gav upphov till [[gränsvärde]]t
:<math>\lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>

Bernoulli kom fram till att uttryckets värde måste ligga mellan 2 och 3, men hittade inte det exakta värdet (som är e). Den första kända användningen av konstanten var år [[1690]] i ett brev från [[Gottfried Leibniz]] till [[Christiaan Huygens]], där Leibniz använde sig av beteckningen ''b''. [[Leonhard Euler]] ligger bakom den nuvarande standardbeteckningen, som han använde första gången år [[1731]] i ett brev till [[Christian Goldbach]].
<ref name="OConnor">{{Webbref |url = <!-- http://www.gap-system.org/~history/PrintHT/e.html -->http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html |titel = The number e |utgivare = MacTutor History of Mathematics |förnamn = J J |efternamn = O'Connor |förnamn2 = E F |efternamn2 = Robertson }}</ref>

== Typografisk aspekt ==
Enligt den svenska standarden SS 03 61 07 (''Grafisk teknik – Sättningsregler – Matematik och kemi'') ska '''e''' som beteckning för den naturliga logaritmen ''inte'' skrivas i [[kursiv]] stil, då den är en matematisk konstant och inte en variabel. Detta följs dock inte i någon större utsträckning, då konstanter också ofta skrivs i kursiv stil.

==Referenser==
===Noter===
<references/>

== Externa länkar ==
*{{Commonscat|e (mathematical constant)}}
* [http://www.mu.org/~doug/exp/100000.html 100 000 decimaler av e]
* [http://antwrp.gsfc.nasa.gov/htmltest/rjn_dig.html Två miljoner decimaler av e]

{{Irrationella tal}}

{{STANDARDSORTERING:e}}
[[Kategori:Matematiska konstanter]]
[[Kategori:Irrationella tal]]
[[Kategori:Transcendenta tal]]
[[Kategori:E| ]]