Visa källa för EF-ring

En '''EF-ring''' eller '''[[ring (matematik)|ring]] med entydig faktorisering''', är en [[Integritetsområde|heltalsring]] där varje, från noll skilt och icke [[inverterbar]]t, element entydigt kan skrivas som en produkt av [[Irreducibelt element|irreducibla element]]. Begreppen [[irreducibelt element]] och [[primelement]] sammanfaller i en sådan ring.

Heltalen [[Heltal|'''Z''']] är en '''EF-ring''', men ej ringen  '''Z [i·<math>\sqrt5</math>].

==Exempel==
* Alla [[principalidealdomän]]er, och därmed alla [[Euklideisk domän|Euklideiska domäner]], är EF-ringar. Speciellt är [[heltal]]en, de [[Gaussiskt heltal|Gaussiska heltalen]] och [[Eisensteinheltalen]] EF-ringar.
* [[Auslander–Buchsbaums sats]] säger att varje [[regelbunden lokal ring]] är en EF-ring.
* Ringen <math>\mathbb Z[\sqrt{-5}]</math> av [[komplexa tal]] på formen <math>a+b\sqrt{-5}</math>, där ''a'' och ''b'' är heltal, är inte en EF-ring eftersom talet 6 här inte har en entydig faktorisering utan kan faktoriseras både som 2·3  och <math>\left(1+\sqrt{-5}\right)\left(1-\sqrt{-5}\right)</math>. 

==Ekvivalenta krav för en ring skall ha entydig faktorisering==
Ett [[noethersk ring|noetherskt]] [[integritetsområde]] har entydig faktorisering om och endast om varje [[primideal]] av [[höjd (ringteori)|höjd]] är principalt. En [[Dedekinddomän]] har entydig faktorisering om och endast om dess [[idealklassgrupp]] är trivial. I detta fall är den faktiskt en [[principalidealdomän]].

Det finns även ekvivalenta krav för icke-noetherska integritetsområden. Låt ''A'' vara ett integritetsområde. Följande krav är då ekvivalenta.
# ''A'' är en EF-ring.
# Varje nollskilt [[primideal]] av ''A'' innehåller ett [[primelement]]. ([[Irving Kaplansky|Kaplansky]])
# ''A'' satisfierar [[stigande kedjekravet för primideal]] (SKP), och [[lokalisering av en ring|lokaliseringen]] ''S''<sup>&minus;1</sup>''A'' är en EF-ring, där ''S'' är en [[multiplikativt sluten delmängd]] av ''A'' genererad av primelement. (Nagatas kriterium)
# ''A'' satisfierar SKP och varje [[irreducibelt element]] är ett primelement.
# ''A'' är [[atomisk domän|atomisk]] och varje irreducibelt element är ett primelement.
# ''A'' är en [[SGD-domän]] (det vill säga, varje par av element har en största gemensamma delare) som satisfierar SKP.
# ''A'' är en [[Schreierdomän]] och atomisk.
# ''A'' är en [[pre-Schreierdomän]] och är atomisk.
# ''A'' har en [[delarteori]] där varje delare är principal.
# ''A'' är en [[Krulldomän]] där varje [[divisoriellt ideal]] är principal.
# ''A'' är en Krulldomän och varje primideal av höjd 1 är principal.

== Källor ==
* Israel Nathan Herstein: ''Topics of Algebra'', Blaisdell Publishing Company, London 1964.
* John B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wesley, New York 1967.
* B.L. van der Waerden, Algebra, Springer-Verlag, Berlin 1966.

[[Kategori:Ringteori]]