Visa källa för Dualrum

{{källor|månad=2020-04}}
Inom [[linjär algebra]] är '''dualrummet''' till ett [[linjärt rum|vektorrum]] ''V'' över en [[kropp (algebra)|kropp]] '''K''' det vektorrum som består av linjära funktioner från ''V'' till '''K'''. Dualrummet till ''V'' betecknas ofta med ''V''<sup>*</sup>. Elementen i ''V''<sup>*</sup> kallas också [[linjär form|linjära former]] eller [[funktional]]er.

Dualrummet ''V''<sup>*</sup> är självt ett vektorrum, när addition och multiplikation definieras på det vanliga sättet för funktioner. Med andra ord, för '''f''' och '''g''' i ''V''<sup>*</sup>, '''x''' i ''V'' och <math>\alpha</math> i '''K''' får man:
:<math>
(f+g)(x) = f(x) + g(x) </math>
och
:<math>
(\alpha f)(x) = \alpha f(x).
</math>

Duala rum uppkommer naturligt i många delar av matematiken. Till exempel är utgör [[differential]]erna i en punkt det duala rummet till [[tangentvektor]]erna. Duala rum är vidare centrala inom [[funktionalanalys]]. I funktionalanalysen kallas dock rummet av ''kontinuerliga'' linjära funktionaler för dualrum. För ändligtdimensionella [[linjärt rum|vektorrum]] är dessa begrepp ekvivalenta, men för oändligtdimensionella [[Topologiskt vektorrum|topologiska vektorrum]] är inte alla linjära funktionaler kontinuerliga. För att skilja på dessa kallas ibland rummet av ''alla'', kontinuerliga såväl som icke-kontinuerliga, linjära funktionaler för den ''algebraiska dualen''.

Inom [[tensor]]algebran kallas elementen i ''V'' för [[Kovarians och kontravarians (vektorer)|'''kontravarianta''']] och de i ''V''<sup>*</sup> för [[Kovarians och kontravarians (vektorer)|'''kovarianta''' vektorer]]. Uppfattade som linjärformer kallas elementen i ''V''<sup>*</sup> även [[1-form]]er. I detta sammanhang är ''V'' oftast ett ändligtdimensionellt rum. Man kan sammanfatta verkningen av samtliga element i ''V''<sup>*</sup> på ''V'' som en bilinjär form <math>\langle \cdot,\cdot \rangle : V^* \times V \rightarrow \mathbf K </math>:
:<math>\langle f,x\rangle = f(x)</math>.

Vidare kan man på samma sätt bilda den så kallade ''biduala rummet'', eller bidualen, som rummet av linjära funktionaler från ''V''<sup>*</sup> till '''K'''. Detta rum betecknas ofta ''V''<sup>**</sup>. 

== Egenskaper ==
För ett vektorrum av ändlig dimension n kommer det duala rummet att ha samma dimension.
Detta kan visas genom att välja en [[bas (linjär algebra)|bas]] <math>x_1,...x_n</math> för V och visa att den [[Dualbas|duala basen]] bestående av funktionalerna 
<math>x_1^*,...x_n^*</math> som definieras genom <math>x_i^*(x_i)=1, x_i^*(x_j)=0, i\neq j </math> är en bas för dualrummet.

Varje ändligdimensionellt vektorrum är isomorft med sitt dualrum. Isomorfin beror emellertid på valet av en bas. Däremot finns en kanonisk linjär avbildning f från V till V** som definieras av relationen f(v)(w)=w(v), som uppenbarligen är oberoende av bas. Inom [[kategoriteori]]n kallas uppsättningen av alla sådana avbildningar för vektorrum över en given kropp för en [[naturlig transformation]]. En sådan avbildning är alltid [[Injektiv funktion|injektiv]], och är en [[isomorfi]] [[Om och endast om|omm]] vektorrummet är [[ändligtdimensionell]]t. Notera att detta gäller den algebraiska dualen. För dualrummet av kontinuerliga linjära funktionaler är avbildningen f från V till V** även för vissa oändligdimensionella vektorrum en isomorfi. I detta fall kallas vektorrummet för [[reflexivt rum|reflexivt]]. Detta gäller exempelvis för [[separabelt rum|separabla]] [[Hilbertrum]].

== Externa länkar ==
*{{Commonscat|Dual vector spaces}}

{{Linjär-algebra}}

[[Kategori:Linjär algebra]]
[[Kategori:Tensorer]]
[[Kategori:Funktionalanalys]]
[[Kategori:Dualitetsteorier]]

[[pl:Moduł dualny#Przestrzenie liniowe]]