Visa källa för Derivata

{{fler källor|datum=2023-07}}[[Fil:Graph of sliding derivative line.gif|miniatyr|Vid varje punkt är derivatan av <math>f(x)=1 + x\sin x^2</math> lutningen på en linje som är [[tangent (matematik)|tangenten]] till kurvan. Linjen är alltid tangenten till den blåa kurvan. Derivatan är positiv när linjen är grön, negativ när den är röd och noll när den är svart.]]

En '''derivata''' är en [[funktion]] som anger ''förändringshastigheten'' hos en annan känd funktion.<ref>Weisstein, Eric W. "Derivative." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Derivative.html</ref> Intuitivt kan en funktions derivata sägas beskriva hur mycket och i vilken riktning funktionens värde förändras då man rör sig från en given punkt. Exempelvis kan positionen för en [[bil]] i rörelse beskrivas som en funktion av tiden sedan bilen sattes i rörelse. Derivatan av denna funktion beskriver bilens [[hastighet]] (hur mycket läget för bilen förändras inom den närmaste framtiden) och derivatan av hastigheten är bilens [[acceleration]] (hur mycket hastigheten förändras).

Derivata är ett grundläggande begrepp inom [[matematisk analys]]. Den enklaste formen av derivata är derivatan av en [[reella tal|reellvärd]] funktion av en reell oberoende variabel, där derivatan är den hastighet med vilken funktionsvärdet ändras i den punkt som svarar mot den oberoende variabelns värde. Då förändringshastigheten hos en funktion inte måste vara konstant med avseende på den oberoende variabeln, är även derivatan en funktion av denna.

För en reellvärd funktion ''f'' av en variabel betecknas derivatan vanligen ''f'' ′, varför derivatan i punkten ''x'' följaktligen betecknas ''f'' ′(''x'') (uttalas "f prim av x"). Derivatan kan också betecknas d''f''/d''x'' (uttalas "df, dx").

== Exempel ==
;Exempel 1
:Antag att ''p''(''h'') betyder [[lufttryck]]et (i [[Pascal (måttenhet)|pascal]]) vid höjden ''h'' (i meter) över [[havsnivå]]n. Då kommer derivatan ''p''′(''h'') att ange hur mycket trycket ändras per meter i höjdled (trycket ''avtar'' med höjden, vilket resulterar i en negativ ändring, det vill säga minskning). Derivatan får alltså enheten pascal per meter. Eftersom trycket avtar med höjden, blir derivatan ''negativ''.
;Exempel 2
:Låt ''f'' vara en [[konstant funktion]] definierad av ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''c''. Då blir derivatan ''f'' ′(''x'')&nbsp;=&nbsp;0 för alla ''x'', eftersom funktionens värde inte ändras alls när ''x'' ändras.

== Definition ==
Derivatan av funktionen ''f'' i punkten ''x<sub>0</sub>'' definieras som [[gränsvärde]]t
: <math>f'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}</math>,

Om gränsvärdet existerar i en punkt ''x<sub>0</sub>'' sägs funktionen vara '''deriverbar i punkten ''x<sub>0</sub>'''''. Om funktionen är deriverbar i varje punkt i [[definitionsmängd]]en sägs funktionen vara '''deriverbar'''. Om funktionen endast är deriverbar i vissa intervall, måste intervallen anges som villkor för deriverbarheten. Om derivatan av ''f'' är [[kontinuerlig]] sägs funktionen ''f'' vara '''kontinuerligt deriverbar'''.

Det finns även en omskrivning av gränsvärdet, vilken kan vara användbar vid bevisföring:
:<math>f'(x_0)= \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}</math>

=== Exempel ===
Derivatan av den konstanta funktionen <math>\scriptstyle{f(x)\,=\,c}</math> är lika med noll eftersom den inte förändras då variabeln ändras. Detta kan visas med derivatans definition:
:<math>f^\prime(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{c-c}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{0}{h} =0</math>

== Geometrisk tolkning ==
[[Fil:Derivata.svg|miniatyr|Derivatan är tangentens lutning i (''x'',&nbsp;''f''(''x'')).]]
Om en funktion ''f'' åskådliggörs av en graf <math>\scriptstyle{y\,=\, f(x)}</math> så anger derivatan av ''f'' grafens lutning (förändring av ''y'' per förändring av ''x'') för varje värde ''x''. Derivatan i en punkt är således lika med [[riktningskoefficient]]en för kurvans [[Tangent (matematik)|tangent]] i den valda punkten (''x'',&nbsp;''f''(''x'')). Tangentens lutning kan approximeras med [[sekant]]ens lutning i ett litet område kring punkten ''x''. Om sekanten går genom punkterna (''x'',&nbsp;''f''(''x'')) och (''x''+''h'',&nbsp;''f''(''x''+''h'')), där ''h'' är ett litet tal, blir dess lutning i detta intervall
:<math>k = \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.</math>

Approximationen blir bättre ju mindre ''h'' väljs; om avståndet ''h'' mellan punkternas ''x''-värden går mot noll, så kommer sekanten att övergå till tangenten vid ''x'' och lutningen kommer att gå mot derivatan ''f'' ′(''x''); härav derivatans definition.

Om en funktion är deriverbar i en punkt, så är den även [[kontinuerlig funktion|kontinuerlig]] i denna punkt. Det motsatta förhållandet behöver inte gälla, vilket visas av bland annat [[Weierstrass exempel]]. Ett enklare exempel än Weierstrass ges av '''absolutbelopps-funktionen''':
:<math>f(x) = \vert x \vert = \begin{cases}x, \quad x\geq 0\\-x,\quad x<0\end{cases}</math>

Denna är en kontinuerlig funktion som är deriverbar för varje tal ''x'', med undantag av talet noll:
:<math>f^\prime(x) = \begin{cases}1, \quad x>0\\-1, \quad x<0\end{cases}</math>

Funktionens derivata är odefinierad för talet noll. Däremot har funktionen en '''höger- och en vänsterderivata''' för talet noll: Högerderivatan i noll är 1 och vänsterderivatan i noll är -1. Om höger- och vänsterderivatan i en punkt existerar och har samma värde så existerar även derivatan i denna punkt.

== Högre ordningars derivator ==
Om man beräknar derivatan av en funktions derivata erhåller man en ''andra ordningens derivata'', även kallad ''andraderivata''. Beräknar man derivatan av denna får man ''tredjederivatan'' och så vidare. Om risk för förväxling föreligger kallas derivatan av ursprungsfunktionen ''förstaderivata''.

== Notation ==
Som tidigare nämnts finns ett flertal olika notationer för derivata. Med undantag av [[Isaac Newton|Newtons]] notation innebär dessa vanligen ingen skillnad i natur. Olika områden inom matematiken har dock vanligen en notation som vanligen används.

=== Lagranges notation ===
Den enklaste varianten som används är [[Joseph Louis Lagrange]]s, nämligen [[primtecken|primtecknet]]:
:<math>f'(x)</math>&nbsp; för förstaderivata (uttalas "f prim av x")
:<math>f''(x)</math>&nbsp; för andraderivata (uttalas "f bis av x")
:<math>f'''(x)</math>&nbsp; för tredjederivata (uttalas "tredje derivatan av x")
:<math>f^{(n)}(x)</math>&nbsp; för högre ordningens derivata, eller derivator av okänd ordning (som i exempelvis [[Taylorutveckling]]ar).

=== Leibniz notation ===
Den andra typen av notation har fått sitt namn efter [[Gottfried Leibniz]]. Även om [[Leibniz notation]] kan tyckas något otymplig är den lämplig att använda bland annat vid tillämpning av [[kedjeregeln]] och vid lösning av [[differentialekvation]]er, på grund av dess tydliggörande av [[differential]]erna.

För derivatan av en funktion <math>y\,=\,f(x)</math> skriver man
:<math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}</math> för förstaderivatan och <math>\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}</math> för andraderivatan. Om sammanhanget gör det lämpligare att använda ''f''(''x'') i stället för ''y'' skriver man
:<math>\frac {\mathrm{d}(f(x))}{\mathrm{d}x}</math> i stället för <math>f'(x)</math>, ''f'':s derivata.

För ''f'':s derivata i en punkt ''a'' finns två notationer:
:<math>\frac{\mathrm{d}\left(f(x)\right)}{\mathrm{d}x}\left.{\!\!\frac{}{}}\right|_{x=a} = \left(\frac{\mathrm{d}\left(f(x)\right)}{\mathrm{d}x}\right)(a).</math>

Ibland skrivs detta dock något slarvigt som
:<math>\frac{\mathrm{d}f(a)}{\mathrm{d}x}</math>

Högre ordningens derivator skrivs som
:<math>\frac{\mathrm{d}^n f(x)}{\mathrm{d} x^n}</math> i stället för <math>f^{(n)}(x).</math>

=== Newtons notation ===
[[Isaac Newton]]s notation använder en punkt över funktionen för att beteckna derivata. Den används idag främst inom [[Klassisk mekanik|mekanik]] för att beteckna derivator med avseende på [[tid]]en, för att särskilja dessa från derivator med avseende på rummet. Den används vanligen endast för första och andra ordningens derivator:
:<math>\dot{x}</math> för förstaderivatan (uttalas "x prick")
:<math>\ddot{x}</math> för andraderivatan (uttalas "x prick prick")

Då Leibniz notation är mer användarvänlig föredras vanligtvis denna framför Newtons notation

=== Eulers notation ===
[[Leonhard Euler]] introducerade en notation baserad på en [[differentieringsoperator]]:
:<math>D f(x) = f'(x)</math>
:<math>D^2 f(x) = f''(x)</math>
:<math>D^n f(x) = f^{(n)}(x)</math>

Med denna notation kan uttryck som <math>\scriptstyle{D^{1/2} f(x)}</math> anges, vilket kallas för halva derivatan av funktionen ''f'' och är ett exempel på [[bruten derivata]].

== Deriveringsregler ==
Vid derivering är det oftast onödigt komplicerat att utgå från derivatans definition; istället har man utifrån definitionen härlett derivatorna till de elementära funktionerna och uttryck sammansatta av sådana. Dessa kan man utgå från vid [[problemlösning]].

Många funktioner kan skrivas på endera av följande sätt:
* Som en '''summa''' av två funktioner, exempelvis <math>\scriptstyle{f(x)\,=\,1 + x}</math>
* som en '''produkt''' av två funktioner, exempelvis <math>\scriptstyle{f(x)\,=\,x^2}</math>
* som en '''kvot''' av två funktioner, exempelvis <math>\scriptstyle{f(x)\,=\,\frac{1}{x}}</math>
* som en '''sammansättning''' av två funktioner; så är exempelvis funktionen <math>\scriptstyle{f(x)\,=\,\frac{1}{1+x}}</math> en sammansättning av funktionerna <math>\scriptstyle{g(y)\,=\,\frac{1}{y}}</math> och <math>\scriptstyle{h(z)\,=\,1+z}</math> (eftersom <math>\scriptstyle{f(x)\,=\,g(h(x))}</math>.

För att beräkna derivatorna av sådana funktioner använder man någon av följande regler.

=== Additionsregeln ===
Derivatan av en summa av två funktioner som båda är deriverbara:
:<math>(f + g)^\prime = f^\prime + g^\prime</math>

=== Produktregeln (Leibniz formel)===
{{Huvudartikel|Produktregeln}}
Produkten av två deriverbara funktioner är deriverbar och derivatan ges av
:<math>(f \cdot g)^\prime = f^\prime \cdot g + f \cdot g^\prime</math>

Produkten av två ''n'' gånger deriverbara funktioner är också ''n'' gånger deriverbar; den ''n'':te derivatan ges av formeln (uppkallad efter den tyske matematikern [[Gottfried Wilhelm von Leibniz]]).
:<math>(f\cdot g)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}f^{(k)} \cdot g^{(n-k)}</math>

==== Anmärkning ====
Jämför med [[Binomialsatsen]]s utveckling av ett binom (a+b)<sup>n</sup>.
:<math>(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k \cdot b^{n-k}</math>

Om man formellt skriver <math>\scriptstyle{a^k\,=\,D^k_ff\,=\,f^{(k)}}</math> och <math>\scriptstyle{b^{n-k}\,=\,D^{n-k}_gg\,=\,g^{(n-k)}}</math> så kan Leibniz formel skrivas:
:<math>(f \cdot g)^{(n)}\,=\,D^n(f \cdot g)\,=\,\left(\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}D^k_f \cdot D^{n-k}_g\right)(f \cdot g)</math>

'''Deriveringsoperatorn''' ''D'' uppfyller tydligen sambandet
:<math>D^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}D^k_f \cdot D^{n-k}_g = \binom{n}{0}D_g^{(n)} + \binom{n}{1}D_f \cdot D_g^{(n-1)} + \cdots + \binom{n}{n-1}D_f^{(n-1)}D_g + \binom{n}{n}D_f^{(n)}</math>

=== Linjäritet ===
En konstant (c) kan flyttas ut ur deriveringen:
:<math>(\mathrm{c} \cdot f)^\prime = \mathrm{c} \cdot f^\prime</math>

==== Bevis ====
Tillämpa produktregeln på funktionen c&nbsp;⋅&nbsp;''f'', där c är ett fixt tal (det vill säga en konstant funktion), och då derivatan av en konstant funktion är noll:
:<math>(\mathrm{c} \cdot f)^\prime = \mathrm{c}^\prime \cdot f + f^\prime \cdot \mathrm{c} = 0 \cdot f + \mathrm{c} \cdot f^\prime = \mathrm{c} \cdot f^\prime</math>

=== Derivata av sammansatt funktion (kedjeregeln) ===

{{Huvudartikel|Kedjeregeln}}

En '''sammansatt funktion''' ''f''(''g''(''x'')) är en funktion ''f(x)'' som har en annan funktion ''g(x)'' som sitt argument, istället för en variabel som ''x''. Detta kan även skrivas (f&nbsp;∘&nbsp;g)(x) för att förtydliga att ''g'' inte är en variabel utan själv är en funktion av variabeln ''x''. Derivatan av en sammansatt funktion går under namnet '''kedjeregeln''':
:<math>(f(g))^\prime = f^\prime(g)\cdot g^\prime.</math>

Ett tydligare sätt att framställa kedjeregeln är att använda Leibniz notation:
:<math>\frac{\mathrm{d} (f \circ g)}{\mathrm{d}x} = \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}g} \cdot \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}\right)(f \circ g) = \frac{\mathrm{d} (f \circ g)}{\mathrm{d}g} \cdot \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}</math>

==== Exempel ====
Funktionen <math>\scriptstyle{h(x)\,=\,e^{-x^2}}</math> är sammansatt av funktionerna <math>\scriptstyle{f(x)\,=\,e^x}</math> och <math>\scriptstyle{g(x)\,=\,-x^2}</math>
:<math>h(x) = (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(-x^2) = e^{-x^2}</math>

Dess derivata kan beräknas med hjälp av kedjeregeln:
:<math>h^\prime(x) = \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}g} \cdot \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}\right)(f \circ g)(x) = \frac{\mathrm{d} e^g}{\mathrm{d}g} \cdot \frac{\mathrm{d}(-x^2)}{\mathrm{d}x} = e^g \cdot (-2x) = -2x \cdot e^{-x^2}</math>

Av detta kan vi dra slutsatserna: Om talet ''x'' är negativt så är funktionen ''h'' växande (''h''′&nbsp;>&nbsp;0); om talet ''x'' är positivt är funktionen ''h'' avtagande (''h''′&nbsp;<&nbsp;0).

Inom [[sannolikhetsteori]] och [[statistik]] är denna funktion av stor betydelse då den utgör [[fördelningsfunktion]]en för [[normalfördelning]]en:
:<math>\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \, e^{-\frac{y^2}{2}} \, \mathrm{d}y</math>

Dess betydelse härrör från den berömda [[Centrala gränsvärdessatsen]].

=== Kvotregeln ===
{{Huvudartikel|Kvotregeln}}
I de punkter där funktionen ''g'' är nollskild och där den har en derivata, är derivatan av kvoten ''f/g'' funktionen
:<math>\left(\frac{f}{g}\right)^\prime = \frac{f^\prime \cdot g - f^\ \cdot g^\prime}{g^2}</math>

==== Bevis ====
Börja med att beräkna derivatan av funktionen ''1/g''. Derivatan av en sammansatt funktion och vetskapen att derivatan av 1/''x'' är -1/''x''<sup>2</sup>, ger att
:<math>\left( \frac{1}{g}\right)^\prime =-\frac{g^\prime}{g^2}</math>

Därmed kan produktregeln användas för att räkna ut derivatan av ''f''(''x'')/''g''(''x''):

:<math>\left(\frac{f}{g}\right)^\prime =\left(f \cdot \frac{1}{g}\right)^\prime = f^\prime \cdot \frac{1}{g} + \left(\frac{1}{g}\right)^\prime \cdot f =\frac{f^\prime g}{g^2}-\frac{f\cdot g^\prime}{g^2}=\frac{f^\prime \cdot g - f^ \cdot g\prime}{g^2}</math>

=== Derivata av invers ===
Anta att {{nowrap|''f'' : ''M'' → ''V''}} är en funktion som är [[invers funktion|inverterbar]] och som har en derivata som är nollskild. Då är funktionens invers ''f''<sup>-1</sup> : ''V'' → ''M'' också deriverbar och dess derivata ges av
:<math>\left(f^{-1} \right)^\prime(y)= \frac{1}{f^\prime\left(f^{-1}(y)\right)} \qquad y \in V</math>

==== Exempel ====
Funktionen {{nowrap|''f'' : [0,∞] → [0,∞]}} med ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;x<sup>2</sup>, är inverterbar och dess invers är funktionen {{nowrap|''f''<sup>-1</sup> : (0,∞) → (0,∞)}} med ''f''<sup>-1</sup>(y)&nbsp;=&nbsp;<math>\scriptstyle{\sqrt{y}}</math>. Inversens derivata kan beräknas med formeln ovan.
:<math>\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\right)\sqrt{y} = \left(f^{-1} \right)^\prime(y)= \frac{1}{f^\prime\left(f^{-1}(y)\right)} = \frac{1}{2 \cdot f^{-1}(y)} = \frac{1}{2\sqrt{y}}, \qquad y \in (0,\infty)</math>

== De elementära funktionernas derivator ==
=== Derivata av polynomfunktioner ===
==== Polynomfunktion av grad ett ====
Derivatan av funktionen ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''x'' är funktionen ''f′''&nbsp;=&nbsp;1.
:<math>\frac{\Delta f}{\Delta x}(x,h) = \frac{f(x+h) - f(x)}{(x+h)-x} = \frac{(x+h) - x}{h} = \frac{h}{h} = 1</math>

Eftersom differenskvoten alltid är lika med talet ett, kommer dess gränsvärde också att vara lika med talet ett:
:<math>f^\prime(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}(x,h) = \lim_{h\to 0} 1 = 1</math>

==== Polynomfunktion av grad två ====
Derivatan av [[polynom]]funktionen ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;x<sup>2</sup> kan beräknas genom att tillämpa [[konjugatregeln]]:

Först beräknas funktionens ''differenskvot'' för en godtycklig punkt ''x'' i funktionens definitionsmängd:
:<math>\frac{\Delta f}{\Delta x}(x,h) = \frac{f(x+h) - f(x)}{(x+h)-x} = </math>
::<math>\frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \frac{((x+h)+x)\cdot((x+h)-x)}{h} = \frac{(2x+h)\cdot h}{h} = 2x+h</math>

Då talet ''h'' närmar sig talet noll, närmar sig differenskvoten polynomfunktionens derivata ''f′''(''x'') i punkten ''x'':
:<math>f^\prime(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}(x,h) = \lim_{h\to 0} (2x + h) = 2x + \lim_{h\to 0} h = 2x + 0 = 2x</math>

==== Polynomfunktion av godtycklig grad ====
Om talet ett skrivs som 1&nbsp;=&nbsp;x<sup>0</sup>, syns ett mönster mellan funktionerna och deras derivator: Funktionen ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;x<sup>2</sup> har derivatan {{nowrap|(''x''<sup>2</sup>)′ {{=}} 2 ⋅ ''x''<sup>2-1</sup>}}; funktionen ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''x''<sup>1</sup> har derivatan {{nowrap|(''x''<sup>1</sup>)′ {{=}} 1 ⋅ ''x''<sup>1-1</sup>}}; funktionen ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''x''<sup>0</sup> har derivatan {{nowrap|(''x''<sup>0</sup>)′ {{=}} 0 ⋅ ''x''<sup>0-1</sup>}}. Vi kan därför misstänka att om ''n'' är ett positivt [[heltal]] så har funktionen ''f''(''x'') = ''x''<sup>''n''</sup> derivatan {{nowrap|(''x''<sup>''n''</sup>)′ {{=}} ''n'' ⋅ ''x''<sup>n-1</sup>}}.

Vi vet att hypotesen stämmer för ''n''&nbsp;=&nbsp;0,&nbsp;1&nbsp;och&nbsp;2. Med hjälp av produktregeln (se denna artikel) skall det visas att hypotesen är korrekt för samtliga heltal ''n''.

Antag att ''vi vet'' att derivatan av funktionen {{nowrap|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>''n''-1</sup>}} är funktionen {{nowrap|(''x''<sup>n-1</sup>)′ {{=}} (''n''-1) ⋅ ''x''<sup>n-2</sup>}}, där ''n'' är ett visst positivt heltal (exempelvis talet 2). Om vi skriver funktionen ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''x''<sup>''n''</sup> som en produkt av funktionerna ''x'' och ''x''<sup>n-1</sup> innebär produktregeln att derivatan av funktionen ''x''<sup>''n''</sup> är funktionen
:<math>(x^n)^\prime = (x \cdot x^{n-1})^\prime = x^\prime \cdot x^{n-1} + x \cdot (x^{n-1})^\prime = 1 \cdot x^{n-1} + x \cdot (x^{n-1})^\prime =</math>
::<math> x^{n-1} + x \cdot (n-1) \cdot x^{n-2} = x^{n-1} + (n-1) \cdot x^{n-1} = n \cdot x^{n-1}</math>

Beräkningen visar att om vi vet derivatan av funktionen ''x''<sup>2</sup>, så vet vi också derivatan av funktionen ''x''<sup>3</sup> och om vi vet derivatan av funktionen ''x''<sup>3</sup> så vet vi också derivatan av funktionen ''x''<sup>4</sup> och så vidare.

=== Elementära funktioner och deras derivator ===
Derivator av exponential- och potensfunktioner
<gallery widths=205 heights=200>
Fil:F(x)=e**(k*x).png|<math>f(x)=e^{kx}\quad f'(x)=ke^{kx}</math>
Fil:F(x)=a**x.png|<math>f(x)=a^x\quad f'(x)=a^x \ln(a)</math>
Fil:F(x)=ln(x).png|<math>f(x)=\ln(x)\quad f'(x)=\frac{1}{x}</math>
Fil:F(x)=x**n.png|<math>f(x)=x^n\quad f'(x)=nx^{n-1}</math>
</gallery>

De [[trigonometrisk funktion|trigonometriska]] och [[hyperbolisk funktion|hyperboliska funktionerna]] påminner på flera sätt starkt om varandra, vilket även avspeglar sig i deras derivator:
{| class="wikitable"
!colspan="2"|De trigonometriska funktionerna||colspan="2"|De hyperboliska funktionerna
|-
!Funktion||Derivata||Funktion||Derivata
|-
|<math>\sin(x)\,</math>||<math>\cos(x)\,</math>|||<math>\sinh(x)\,</math>||<math>\cosh(x)\,</math>
|-
|<math>\cos(x)\,</math>||<math>-\sin(x)\,</math>||<math>\cosh(x)\,</math>||<math>\sinh(x)\,</math>
|-
|<math>\tan(x)\,</math>||<math>\sec^2(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}=\tan^2(x)+1</math>||<math>\tanh(x)\,</math>|| <math>\operatorname{sech}^2(x)\,</math>
|-
|<math>\cot(x)\,</math>||<math>-\csc^2(x)=-\frac{1}{\sin^2(x)}=-\cot^2(x)-1</math>||<math>\operatorname{coth}(x)\,</math>|| <math>-\operatorname{csch}^2(x)\,</math>
|-
|<math>\sec(x)\,</math>||<math>\sec(x)\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}</math>|| <math>\operatorname{sech}(x)\,</math>||<math>-\operatorname{sech}(x)\tanh(x)\,</math>
|-
|<math>\csc(x)\,</math>||<math>-\csc(x)\cot(x)=-\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}</math> ||<math>\operatorname{csch}(x)\,</math>||<math>-\operatorname{csch}(x)\coth(x)\,</math>
|-
|<math>\arcsin(x)\,</math>||<math>\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> ||<math>\operatorname{arsinh}(x)\,</math>||<math>\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}</math>
|-
|<math>\arccos(x)\,</math>||<math>-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> ||<math>\operatorname{arcosh}(x)\,</math>||<math>\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}</math>
|-
|<math>\arctan(x)\,</math>||<math>\frac{1}{1+x^2}</math> ||<math>\operatorname{artanh}(x)\,</math>||<math>\frac{1}{1-x^2}</math>
|-
|<math>\arccot(x)\,</math>||<math>-\frac{1}{1+x^2}</math> ||<math>\operatorname{arcoth}(x)\,</math>||<math>-\frac{1}{1-x^2}</math>
|-
|<math>\arcsec(x)\,</math>||<math>\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}</math> ||<math>\operatorname{arsech}(x)\,</math>||<math>\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}</math>
|-
|<math>\arccsc(x)\,</math>||<math>-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}</math> ||<math>\operatorname{arcsch}(x)\,</math>||<math>-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2+1}}</math>
|}

== Funktioner utan derivata ==
[[Fil:Diagram.svg|höger|miniatyr|Absolutbeloppsfunktionen.]]
[[Heavisides stegfunktion]], ''H''(''x''), som har värdet 0 för negativa ''x'' och värdet 1 för positiva ''x'' är ett exempel på en funktion som inte har någon derivata i punkten ''x''&nbsp;=&nbsp;0. Heavisides stegfunktion är inte ens [[kontinuerlig]] i ''x''&nbsp;=&nbsp;0, då funktionen gör ett hopp i ''x''&nbsp;=&nbsp;0. Dock är funktionen kontinuerlig och deriverbar i alla andra punkter.

[[Absolutbelopp]]sfunktionen, ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;|''x''|, är ett exempel på en funktion som är kontinuerlig överallt, men inte deriverbar i ''x''&nbsp;=&nbsp;0, dock är den deriverbar i alla andra punkter. Man kan se att lutningen på funktionskurvan av ''f''(''x'') är -1 för negativa ''x'' och +1 för positiva ''x'', dvs. lutningen byter hastigt tecken i ''x''&nbsp;=&nbsp;0. Vänstergränsvärdet och högergränsvärdet i derivatans definition är olika:
:<math>\lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h} = -1</math>
:<math>\lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) -f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h} = 1</math>

Att vänster- och högergränsvärdet är olika ger att gränsvärdet inte existerar i punkten, dvs. att funktionen inte har någon derivata i ''x''&nbsp;=&nbsp;0.

Ett exempel på en funktion som är kontinuerlig överallt, men inte har någon derivata någonstans är [[Weierstrassfunktionen]].

== Tillämpningar ==
Derivator utnyttjas allmänt i flera områden inom [[matematik]] och [[fysik]], men även andra [[vetenskap]]er utnyttjar dem mer eller mindre flitigt.

=== Kritiska punkter ===
Det är klart från definitionen av derivata att en funktion växer (dess graf stiger) när derivatan är positiv, och avtar (grafen sjunker) när derivatan är negativ. Om en kontinuerlig funktion med en kontinuerlig derivata skall ha ett [[extremvärde]] ([[maximum]] eller [[minimum]]) i en inre punkt i sin definitionsmängd måste derivatan – om den existerar – följaktligen vara noll där. Punkter där derivatan är noll kallas [[stationär punkt|stationära punkter]], och mängden av de stationära punkterna och de punkter där derivatan inte existerar utgör mängden av de ''kritiska punkterna''. De enda punkter i vilka en kontinuerlig funktion kan anta extremvärden är således de kritiska punkterna samt eventuella randpunkter. Därför används derivator flitigt vid systematiska optimeringsproblem – man finner genom ekvationslösning de punkter där derivatan är lika med noll.

En stationär punkt kan antingen vara en maximipunkt, en minimipunkt eller en [[terrasspunkt]]; derivatans teckenväxling i punkten avgör dess karaktär: om derivatan exempelvis går från plus till minus är punkten en maximipunkt och går den från plus till plus eller minus till minus är det en terrasspunkt. Som ett alternativ till ett dylikt teckenstudium kan andraderivatan betraktas. Om denna är negativ (vilket är troligt, men inte nödvändigt, om derivatan växlar tecken från plus till minus) är punkten en maximipunkt. Om andraderivatan istället är positiv måste derivatan utföra teckenväxlingen minus till plus, och punkten måste vara en minimipunkt. I de fall andraderivatan är noll kan det såväl röra sig om en terrasspunkt som ett extremvärde. Nedan ges exempel på två funktioner som har stationära punkter i [[origo]], och där andraderivatorna också är noll, men där den ena funktionen har en terrasspunkt medan den andra har ett extremum i form av en minimipunkt i origo.
:<math>f(x) = x^3 \Rightarrow f'(x) = 3 x^2 \Rightarrow f''(x) = 6 x</math>
:<math>f(x) = x^4 \Rightarrow f'(x) = 4 x^3 \Rightarrow f''(x) = 12 x^2</math>

Märk att ''förstaderivatan'' i origo har ett extremvärde i det första fallet och en terrasspunkt i det andra fallet.

==== Exempel ====
För att finna det största värdet som antages av funktionen definierad av {{nowrap|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>3</sup> - 2''x''<sup>2</sup> + x - 3}} för {{nowrap|0 ≤ ''x'' ≤ 2}} beräknar vi derivatan och bestämmer dess nollställen.
:<math>f'(x) = 3 x^2 - 4 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x \in \{1/3, 1\}</math>

Eftersom andraderivatan är {{nowrap|''f′′''(''x'') {{=}} 6''x'' - 4}} så är {{nowrap|''f′′''(1/3) {{=}} -2 < 0}} och {{nowrap|''f′′''(1) {{=}} 2 > 0}}.

Värdena i randpunkterna är ''f''(0)&nbsp;=&nbsp;-3 respektive ''f''(2)&nbsp;=&nbsp;-1.

Följaktligen har funktionen ''f'' en lokal maximipunkt för ''x''&nbsp;=&nbsp;1/3 och en lokal minimipunkt för ''x''&nbsp;=&nbsp;1. Respektive extremvärden är ''f''(1/3)&nbsp;=&nbsp;-77/27 och ''f''(1)&nbsp;=&nbsp;-3. Det minsta respektive största värde som antas i intervallet är alltså -3 (ändpunkt och lokal minimipunkt) och -1 (ändpunkt).

=== Fysik ===
Inom fysiken är derivator vanliga. Speciellt vanligt är derivator med hänseende på [[tid]]en, men även derivator med avseende på [[Rum (fysik)|rum]]svariabler förekommer. Inom [[klassisk mekanik]] ingår derivator av ett föremåls position nästan alltid i de problem som behandlas, vilket lett till att de fått egna namn, [[hastighet]] (förstaderivatan med avseende på tiden av positionen) och [[acceleration]] (andraderivatan av densamma). ([[Fart]]en är [[absolutbeloppet]] av hastigheten.)

== Reellvärda funktioner av flera variabler ==
En funktion av flera variabler kan deriveras med avseende på var och en av dessa variabler; dessa [[partiell derivata|partiella derivator]] anger då förändringhastigheten i respektive koordinataxels riktning. [[Vektor (matematik)|Vektorn]] som består av samtliga dessa partiella derivator kallas [[gradient]]en till funktionen och spelar en liknande roll för funktioner av flera variabler som den vanliga derivatan gör för funktioner av en variabel; till exempel kan lokala extrempunkter i det inre av definitionsmängden endast återfinnas där gradienten är lika med nollvektorn (eller inte existerar).

== Vektorvärda funktioner ==
=== Funktioner av en variabel ===
För en vektorvärd funktion av en variabel
:<math>\mathbf{f}(t) = (f_1(t), \dots, f_n(t))</math>

kan derivatan definieras som gränsvärdet
:<math>\mathbf{f}'(t) = \lim_{h \to 0} \frac{\mathbf{f}(t+h) - \mathbf{f}(t)}{h}</math>.

Eftersom
:<math>\frac{\mathbf{f}(t+h) - \mathbf{f}(t)}{h} = \frac{(f_1(t+h), \dots, f_n(t+h)) - (f_1(t), \dots, f_n(t))}{h} = </math>
::<math>\left ( \frac{f_1(t+h) - f_1(t)}{h}, \dots, \frac{f_n(t+h) - f_n(t)}{h} \right ) \rightarrow (f_1'(t), \dots, f_n'(t))</math> &nbsp;då ''h'' → 0

ser vi att en vektorvärd funktion faktiskt kan deriveras komponent för komponent; med andra ord återförs beräkningen av en vektoriell derivata på fallet med beräkningen av flera enkla derivator.

==== Exempel ====
Om vektorn '''r'''(''t'') anger en partikels position i rummet vid tiden ''t'' så kommer första- respektive andraderivatan att ange partikelns hastighets- respektive accelerationsvektor vid tiden ''t''.

=== Funktioner av flera variabler ===
Derivatan av en vektorvärd funktion av två eller fler variabler är däremot mer komplicerad än derivering komponent-för-komponent. Följande funktion är ett exempel på en vektorvärd funktion av tre variabler:
:<math>f(u,v,w) = (u+v, u-w, v+w, u+v+w, u-v-w).</math>

Anledningen till att det är svårt att beräkna derivatan av en sådan funktion är att det blir problematiskt då man skall beräkna gränsvärdet av differenskvoten då 'h närmar sig noll'; för det första är ''h'' en vektor (inte ett tal som tidigare), och för det andra finns det vanligtvis obegränsat många sätt för en vektor att närma sig origo. Den kan exempelvis röra sig i en spiral, röra sig längs en [[rät linje]], röra sig längs en krokig linje och så vidare. Man måste täcka in alla dessa möjligheter då man beräknar derivatan av en vektorvärd funktion av flera variabler.

== Komplexa funktioner ==
Vissa komplexvärda funktioner av en komplex variabel har derivata till exempel [[analytiska funktioner]].

== Se även ==
{{Wiktionary-box|derivata}}
*[[Integral]]
*[[Primitiv funktion]]
*[[Analysens fundamentalsats]]
*[[Logaritmisk derivering]]
*[[Partiell derivata]]
*[[Differentialekvation]]
*[[Differentialgeometri]]
*[[Medelvärdessatsen]] (Lagranges medelvärdessats)

== Referenser ==
<references/>

[[Kategori:Matematisk analys]]