Visa källa för Cyklisk modul

En '''cyklisk modul''' är inom [[ringteori]] en (vänster- eller höger)[[modul (matematik)|modul]] som genereras av ett enda element. Speciellt är den alltså en [[ändligtgenererad modul]].

Med andra ord är en vänstermodul ''M'' över en [[unitär ring]] ''A'' cyklisk om det finns något element ''x'' i modulen sådant att ''varje'' element i modulen kan skrivas som en multipel av ett ringelement och ''x''. Formellt kan detta uttryckas som att
:<math>M = Ax = \{ax|a\in A\}\,</math>
för något <math>x\in M</math>.

Ett exempel är [[enkel modul|enkla moduler]], då varje nollskilt element i en enkel modul [[modulgeneratorer|genererar]] hela modulen. Om till exempel ''M'' är en enkel vänstermodul över den [[unitära ring]]en ''A'', och ''x''&nbsp;≠&nbsp;0 är ett element i ''M'', så är ''Ax''&nbsp;=&nbsp;{&nbsp;''ax''&nbsp;:&nbsp;''a''&nbsp;&isin;&nbsp;''A''&nbsp;} en nollskild delmodul av ''M''. Eftersom ''M'' enligt antagandet inte har några andra delgrupper än 0 och ''M'' själv, måste ''Ax''&nbsp;=&nbsp;''M'', det vill säga, ''x'' genererar hela ''M''. Detta innebär att varje enkel modul är en cyklisk modul. Notera dock att det omvända inte gäller i allmänhet.

== Exempel ==

* Ett [[linjärt rum]] är cykliskt (som modul över sin [[kropp (algebra)|kropp]] av [[skalär]]er) precis om det har [[dimension]] högst ett.
* En [[abelsk grupp]] är cyklisk som modul över '''[[Heltal|Z]]''' precis om den är [[cyklisk grupp|cyklisk som grupp]].
* Varje [[nollmodul]] och varje [[enkel modul]] är cyklisk, se förra stycket.
* Ett ensidigt [[ideal (ringteori)|ideal]] är cykliskt precis om det är ett [[principalideal]].

== Egenskaper ==

* Givet en cyklisk ''A''-modul ''M'', som generas av ''x''&nbsp;&isin;&nbsp;''M'', finns det en [[kanonisk (matematik)|kanonisk]] [[isomorfi]] mellan ''M'' och ''A'' / Ann<sub>''A''</sub>''x'', där Ann<sub>''A''</sub>''x'' betecknar [[Annihilator (ringteori)|annihilator]]n till ''x'' in''A''.
* Om ''M'' är en cyklisk delmodul av ''A'' och ''M'' inte är [[nollmodul|nolldelmodulen]], så har ''M'' minst en maximal [[äkta delmängd|äkta]] delmodul.

== Se även ==

* [[Cyklisk grupp]]
* [[Ändligtgenererad modul]]

[[Kategori:Ringteori]]