Visa källa för Child-Langmuirs lag

[[Bild:Plane_diode.jpg|thumb|Rymdladdningsbegränsad vakuum diod]] 

'''Child-Langmuirs lag''' eller '''Childs lag''' beskriver fysiken och matematiken bakom [[rördiod]]ens funktion. Den är döpt efter
[[Clement Dexter Child]] (1868-1933), som först publicerade den 1911, och efter [[Irving Langmuir]], som oberoende upptäckte den och publicerade den 1913.
<!-- Denna artikel är en mer eller mindre ordagrann översättning av källan enligt nedan (sid 200-202). -->

==Problemställning==
I [[Elektronrör#Elektronrörsdioden|rördioder]] emitteras (utsänds) [[elektron]]er från en het [[katod]] vid noll potential och uppsamlas av en [[anod]] med en potential Vo vilket resulterar i en [[konvektionsström]]. 

Under antagande att katoden och anoden är parallella ledande ytor och att elektronerna lämnar katoden till en början utan hastighet (e.g rymdladdningsbegränsad) beskriver Child-Langmuirs lag relationen mellan [[Drifthastighet#Elektroners drifthastighet|strömtätheten]] J och Vo.

==Lösning==
Området mellan katoden och anoden visas i figuren och området runt katoden innehåller ett moln av elektroner (negativ rymdladdning) sådant att repulsionen gör att elektronerna som kokar på katodens yta lämnar ytan med praktiskt taget ingen hastighet alls. Med andra ord är det elektriska fältet noll vid katoden. Då har vi:

:<math>E(0)=a_yE_y(0)=-a_y\frac{dV(y)}{dy}|_{y=0}=0</math>     (1)

I vilotillståndet är strömtätheten konstant och oberoende av y:

:<math>J=-a_yJ=a_y\rho(y)u(y)\,</math>    (2)

där laddningstätheten <math>\rho(y)</math> är en negativ enhet. Hastigheten '''u'''='''a'''yu(y) är relaterad till det elektriska fältets intensitet '''E'''(y)='''a'''yE(y) genom [[Newtons andra rörelselag]]:

:<math>m\frac{du(y)}{dt}=-eE=e\frac{dV(y)}{dy}</math>,    (3)

där <math>m=9.11*10^{-31}</math> (kg) och <math>-e=-1.60*10^{-19}</math> (C) är massan respektive laddningen hos en elektron. Noterar man att:

:<math>m\frac{du}{dt}=m\frac{du}{dy}\frac{dy}{dt}=mu\frac{du}{dy}=\frac{d}{dy}(\frac{1}{2}mu^2)</math>(4)

kan man skriva ekvation (3) som:

:<math>\frac{d}{dy}(\frac{1}{2}mu^2)=e\frac{dV}{dy}</math>    (5)

Integration av ekvation (5) ger:

:<math>\frac{1}{2}mu^2=eV</math>,   (6)

där integreringskonstanten är satt till noll på grund av att vid <math>y=0</math> är <math>u(0)=V(0)=0</math>. Från ekvation (6) får vi:

:<math>u=(\frac{2e}{m}V)^\frac{1}{2}</math>.    (7)

För att bestämma <math>V(y)</math> inom elektroderna måste vi lösa [[Poissons ekvation]] med <math>\rho</math> uttryckt i termer av <math>V(y)</math> från ekvation (2):

:<math>\rho=-\frac{J}{u}=-J\sqrt{\frac{m}{2e}}V^{-\frac{1}{2}}</math>    (8)

Från Poissons ekvation har vi:

:<math>\frac{d^2V}{dy^2}=-\frac{\rho}{\epsilon_0}=\frac{J}{\epsilon_0}\sqrt{\frac{m}{2e}}V^{-\frac{1}{2}}</math>     (9)

Ekvation (9) kan integreras om båda sidor först multipliceras med 2 <math>dV/dy</math>. Resultatet blir:

:<math>(\frac{dV}{dy})^2=\frac{4J}{\epsilon_0}\sqrt{\frac{m}{2e}}V^{\frac{1}{2}}+c</math>     (10)

På grund av <math>y=0, V=0</math> och <math>dV/dy=0</math> får vi från ekvation (1) att <math>c=0</math>. Ekvation (10) blir då:

:<math>V^{-\frac{1}{4}}dV=2\sqrt\frac{J}{\epsilon_0}(\frac{m}{2e})^{\frac{1}{4}}dy</math>     (11)

Integrerar man vänsterledet från <math>V=0</math> till <math>V_0</math> och högerledet från <math>y=0</math> till ''d'' får man:

:<math>\frac{4}{3}V_0^{\frac{3}{4}}=2\sqrt\frac{J}{\epsilon_0}(\frac{m}{2e})^{\frac{1}{4}}d</math>   (12)

eller:

:<math>J=\frac{4\epsilon_0}{9d^2}\sqrt\frac{2e}{m}V_0^{\frac{3}{2}} (A/m^2) </math>    (13)

Ekvation (13) stipulerar att [[konvektionsström]]tätheten i en rymdladdningsbegränsad rördiod är proportionell mot potentialskillnaden mellan anod och katod upphöjt till tre halva. Detta icke-linjära förhållande är känt som '''Child-Langmuirs lag'''.

==Källor==
*Cheng David K, Field and Wave Electromagnetics, Second Edition, Fourth Printing, 1991, USA & Canada

[[Kategori:Elektromagnetism]]

[[en:Debye sheath#The Child-Langmuir Law]]