Visa källa för Birch–Swinnerton-Dyers förmodan

'''Birch-Swinnerton-Dyers förmodan''' tillhör området [[algebraisk geometri|aritmetisk algebraisk geometri]]. Som Newton var den förste att påpeka skär en linje en elliptisk kurva i tre punkter. För detta gäller att om två av dessa punkter är rationella så är också den tredje rationell. 

Låt E(Q) vara en [[elliptisk kurva]], det vill säga en icke-singulär, projektiv kurva av [[genus (matematik)|genus]] 1, definierad över en [[talkropp]] K. Denna [[ekvation]] skrivs vanligtvis på formen {{nowrap|''y² {{=}} x³ + ax + b''}} där ''a'' och ''b'' är [[heltal]]. Man kan visa att de rationella punkterna i K bildar en grupp under den additionsoperation som ges av att tre kolinjära punkter summerar till 0. Det vill säga:
:<math> f(x,y) = 0, \quad x,y \in \mathbb{Q}. </math>

Denna grupp består av en torsionskomponent samt ''r'' antal kopior av Z. ''r'' kallas rangen för E. Associerad till E finns också en meromorf funktion L(E,s), s komplex, kallad L-funktionen för E. Den definieras som en viss [[eulerprodukt]] där faktorerna beror på antalet punkter på E över de ändliga kropparna.
:<math> L := \prod_{p \nmid 2 \delta} (1 - a_{p}p^{-s} + p^{1-2s})^{-1} </math>

Denna eulerprodukt konvergerar för Re(s)&nbsp;>&nbsp;3/2.

'''Birch-Swinnerton-Dyers förmodan lyder:'''

Taylorexpansionen för L(E,s) vid s=1 har formen
:<math> L(E,s) = c(s - 1)^r + \text{termer av hogre ordning,} \qquad c \ne 0</math>

Förmodan innebär alltså att gruppen innehåller ett oändligt antal rationella punkter om L-funktionen har ett [[Rot (till ekvation)|nollställe]] i s=1 och ett ändligt om L-funktionen inte har det.<ref>CMI, The Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture: {{Webbref|url=http://www.claymath.org/millennium/Birch_and_Swinnerton-Dyer_Conjecture/ |titel=Arkiverade kopian |hämtdatum=2012-09-29 |arkivurl=https://web.archive.org/web/20121025042618/http://www.claymath.org/millennium/Birch_and_Swinnerton-Dyer_Conjecture/ |arkivdatum=2012-10-25 }}</ref>

== Historia ==
I början av 1960-talet undersökte [[Peter Swinnerton-Dyer]] antalet punkter modulo ''p'' (betecknas med ''N<sub>p</sub>'') för ett stort antal primtal ''p'' för ett stort antal elliptiska kurvor vars rang var känt. Från dessa numeriska resultat förmodade [[Bryan John Birch]] och Swinnerton-Dyer att ''N<sub>p</sub>'' för kurvan ''E'' med rang ''r'' satisfierar

[[File:BSD data plot for elliptic curve 800h1.svg|350px|right|thumb|Grafen av <math>\prod_{p\leq X} \frac{N_p}{p}</math> för kurvan ''y''<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;''x''<sup>3</sup>&nbsp;−&nbsp;5''x'' då ''X'' går över de första 100000 primtalen. ''X''-axeln är log(log(''X'')) och ''Y''-axeln är i logaritmisk skala så att förmodan säger att data borde bilda en linje med en lutning samma som kurvans rang, vilket i detta fall är 1. Som jämförelse finns en röd linje med lutning 1 i grafen.]]

:<math>\prod_{p\leq x} \frac{N_p}{p} \approx C\log (x)^r \mbox{ as } x \rightarrow \infty </math>

där ''C'' är en konstant.

Det här ledde dem till en allmän förmodan om kurvans L-funktion ''L''(''E'',&nbsp;''s'') vid ''s'' = 1, nämligen att den har ett nollställe av ordning ''r'' vid 1.

Förmodan utvidgades senare till att omfatta en explicit formel för den första [[Taylorkoefficient]]en av L-funktionen vid ''s'' = 1. Denna starkare förmodan lyder

:<math>\frac{L^{(r)}(E,1)}{r!} = \frac{\#\mathrm{Sha}(E)\Omega_E R_E \prod_{p|N}c_p}{(\#E_{\mathrm{Tor}})^2}</math>

där kvantiteterna i högra membrum är invarianter av kurvan, undersökta av Cassels, [[John Tate (matematiker)|Tate]], [[Igor Sjafarevitj|Sjafarevitj]] och andra: dessa inkluderar ordningen av [[torsiongrupp]]en, ordningen av [[Tate–Sjafarevitjgrupp]]en och den [[kanonisk höjd|kanoniska höjden]] av en bas av rationella punkter {{harv|Wiles|2006}}.

== Konsekvenser ==
Såsom [[Riemannhypotesen]] har Birch-Swinnerton-Dyers förmodan en mängd konsekvenser.
* Låt ''n'' vara ett udda [[kvadratfritt tal]]. Om man antar Birch-Swinnerton-Dyers förmodan är ''n'' ett [[kongruent tal]] om och bara om antalet heltalslösningar (''x'', ''y'', ''z'') av ekvationen <math>2x^2 + y^2 + 8z^2 = n</math> är två gånger antalet heltalslösningar av ekvationen <math>2x^2 + y^2 + 32z^2 = n</math>. Den här satsen av Tunnell (1983) är relaterad till det att ''n'' är ett kongruent tal om och bara elliptiska kurvan <math>y^2 = x^3 - n^2x</math> har en rationell punkt av oändlig ordning (härmed, om man antar Birch-Swinnerton-Dyers förmodan, har dess ''L''-funktion ett nollställe vid 1).

== Källor ==
<references/>

{{L-funktioner}}

[[Kategori:Olösta matematiska problem]]
[[Kategori:Algebraisk geometri]]
[[Kategori:Diofantisk geometri]]
[[Kategori:Zeta- och L-funktioner]]
[[Kategori:Förmodanden inom talteori]]