Visa källa för Basbyte

[[Fil:basbyte.png|mini|upright|Vektor representerad i två olika baser]]

'''Basbyte''' är inom [[linjär algebra]] en transformation från en [[bas (linjär algebra)|bas]] till en annan. Det kan till exempel handla om att man byter från ett koordinatsystem som använder kilometer till ett som använder mil eller från ett som utgår från jordaxeln till ett som utgår från ett fordons längdaxel.

Låt
:<math>\mathbf{e} = (\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,..., \mathbf{e}_n)</math>
vara den gamla basen för R<sup>n</sup> och
:<math>\mathbf{f} = (\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2, ..., \mathbf{f}_n)</math>
vara den nya basen för R<sup>n</sup> och
:<math>\mathbf{f} = \mathbf{e}\, P </math>
där transformationsmatrisen ''P'' är en icke-[[Inverterbar matris|singulär]] [[matris]] vars kolonner utgörs av [[Koordinater|koordinaterna]] för de nya [[Bas (linjär algebra)|basvektorerna]] uttryckta i gamla basen.

För koordinatmatriserna för vektor '''x''' i baserna '''x'''<sub>e</sub> och '''x'''<sub>f</sub> gäller då att
:<math>\mathbf{x}_e = P\, \mathbf{x}_f</math>
:<math>\mathbf{e} = \mathbf{f}\, P^{-1}</math>

Om baserna är ortogonala baser är ''P'' en ortogonal matris vilket ger att
:<math>P^{-1} = P^{T}</math>

Vid [[linjär avbildning]] av matrisen ''A'' från R<sup>m</sup> till R<sup>n</sup>, där alla vektorer är i standardbaser, gäller sambandet
:<math>A_{e;f} = Q^{-1}A\, P</math>

där ''Q'' och ''P'' är de matriser vars kolonner utgörs av de nya baserna för R<sup>m</sup> och R<sup>n</sup>.


{{Linjär-algebra}}

[[Kategori:Linjär algebra]]
[[Kategori:Matristeori]]