Visa källa för Addition

{{Matematiska operationer}}
'''Addition''' är ett av de fyra grundläggande [[räknesätt]]en inom [[aritmetik]]en. Addition betecknas oftast med [[plustecken|plustecknet]] (<math>+</math>) som infördes omkring år [[1500]], och är en [[binär operator|binär]] [[operator]]. Addition av ett [[Negativa tal|negativt]] [[tal]] är ekvivalent med [[subtraktion]]. Vid addition läggs värdet av två (eller flera) [[term (matematik)|termer]] samman till en [[summa]]. Att summan av sex och två är åtta skrivs <math>6 + 2 = 8</math> och utläses "sex adderat med två är lika med åtta" eller "sex plus två är lika med åtta".

Upprepad addition betecknas med [[summatecken]] <math>\scriptstyle{\sum}</math>, ursprungligen den versala [[grekiska]] bokstaven Σ, [[sigma]]. Exempel:
:<math>\sum_{i=2}^{5} i = 2 + 3 + 4 + 5</math>

Upprepad addition med samma term motsvarar multiplikatorn med ett heltal:
:<math>\sum_{i=1}^{n} x = x \cdot n </math>

Begreppet addition och plusoperatorn används också för att beteckna andra binära operationer med liknande [[Algebraisk|algebraiska]] egenskaper, exempelvis [[vektoraddition]], [[matris]]addition, [[eller]]-operatorn i [[Boolesk algebra]], [[modulär aritmetik|modulär addition]], och [[konkatenering]] av [[Sträng (data)|textsträngar]].

Summan av två naturliga tal <math>a</math> och <math>b</math> kan uppfattas som antalet objekt i den uppsättning som ges av att till en uppsättning med <math>a</math> objekt foga en uppsättning med <math>b</math> objekt. Addition av tal lyder under en kompositionsregel; två element ställs samman och resulterar i ett element. <math>a</math> och <math>b</math> ställs samman och bildar exempelvis <math>c</math>. Vid addition av talet <math>0</math> till ett element <math>a</math> bibehålls <math>a</math> oförändrat, <math>a + 0 = a</math>. Noll förändrar inte <math>a</math>:s värde vid addition, detta gäller för varje tal <math>a</math>.<ref name="ReferenceA">{{bokref|författare= William Karush|år=1962|titel=Matematisk uppslagsbok översatt och bearbetad av Jan Thompson och Bertil Rahm|förlag=Wahlström & Widstrand Stockholm 1970|id={{ISBN|91-46-13004-7}}}}</ref>[[Fil:Addition01.svg|miniatyr|upright|3 + 2 = 5 med [[äpple]]n, ett vanligt val i skolböcker]]
== Additionslagar ==
[[Fil:PlusCM128.svg|miniatyr|upright|Plustecknet]]
Lagarna gäller för alla tal ''a'', ''b'' och ''c''.
:<math>a+0=a</math>
:<math>a+(b+c)=(a+b)+c</math> kallas för den [[Associativitet|associativa lagen]].
:<math>a+b=b+a</math> kallas för den [[Kommutativitet|kommutativa lagen]].

Additionen är även en [[transitiv relation]]<ref>{{bokref|författare= Bo Göran Johansson|år=2004|titel=Matematikens historia|förlag=Studentlitteratur|id={{ISBN|91-44-03322-2}}}}</ref>, om {{nowrap|''a'' {{=}} ''b''}} så är {{nowrap|''a'' + ''c'' {{=}} ''b'' + ''c''}}.

Den associativa och kommutativa lagen medför att en kontroll av summan kan göras genom att summera termerna i en annan ordning.<ref name="ReferenceA"/>  

Ett exempel på detta är följande summa: 
:<math>1+2+3+4+5+6+7+8+9=45</math>

som blir enklare att summera om ordningen på termerna kastas om:
:<math>1+9+2+8+3+7+6+4+5=10+10+10+10+5=4 \cdot 10+5=45</math>

I den andra uträkningen användes multiplikation, ett sätt att snabbt summera ett visst antal termer av samma värde;
:<math>a+a+a+a=4a</math>

=== Addition av algebraiska uttryck ===
Vid addition av [[Algebraiskt uttryck|algebraiska uttryck]] adderas termer av samma slag var för sig genom att deras [[koefficient]]er adderas. Exemplet nedan visar hur addition av algebraiska termer går till.
:<math>(2x^2+3x+1)+(3x^2+x+4)=5x^2+4x+5</math>

=== Addition av komplexa tal ===
{{Huvudartikel|Komplexa tal}}
Ett [[komplexa tal|komplext tal]] brukar skrivas <math>a + b i </math> där <math>a </math> och ''<math>b </math>'' är [[reella tal]] och <math>i </math> är [[imaginära tal|imaginärt]]. <math>i </math> satisfieras av <math>i^2 = -1 </math>. I uttrycket <math>a + b i </math> kallas <math>a </math> för realdelen och <math>b </math> för imaginärdelen.<ref name="ReferenceA" />  

:<math>(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i</math>

Vid addition av komplexa tal adderas således realdel och imaginärdel var för sig.

=== Addition av vektorer ===
{{Huvudartikel|Vektor#Addition och subtraktion|Vektoraddition}}
Följande definieringar av addition av vektorer gäller för godtycklig dimension, för enkelhetens skull visas här addition av vektorer i planet.

Låt <math>v_1 </math> och <math>v_2 </math>vara två riktade sträckor med samma utgångspunkt. Deras summa, eller resultant som det kallas för vektorer, består i den riktade diagonal i det parallellogram som spänns upp av <math>v_1 </math>och <math>v_2 </math>. Denna sträcka har samma utgångspunkt som <math>v_1 </math>och <math>v_2 </math>. Detta sätt att summera vektorer på går under [[parallellogramlagen]].<ref name="ReferenceA"/> Vektor <math>v_1 </math> och vektor <math>v_2 </math> kallas för komposanter, de bygger upp resultanten <math>v </math>.

I figuren nedan adderas vektor <math>v_1 </math> (blå) och vektor <math>v_2 </math> (grön) och bildar resultantvektorn <math>v </math> (svart). Detta illustreras genom att den blå vektorn läggs ut först och vid dess spets startar den gröna vektorn, den svarta vektorn har sin startpunkt i den blå vektorns stjärt och sin slutpunkt vid den gröna vektorns spets. Om <math>v_2 </math> och <math>v_1 </math> adderas istället så börjar man med den gröna vektorn först och lägger sedan på den blå. Som synes i figuren skapar de blå och gröna vektorerna en parallellogram vars diagonal utgörs av den resulterande vektorn.    

[[Fil:Addition av vektorer 003.jpg|250px]]

Om ''v₁'' och ''v₂'' representeras av två talpar <math>\scriptstyle{x_1 \choose y_1}</math> och <math>\scriptstyle{x_2 \choose y_2}</math> blir deras summa den vektor som representeras av <math>\scriptstyle{(x_1+x_2)\choose (y_1+y_2)}</math>, det vill säga:
:<math>{x_1 \choose y_1}+{x_2 \choose y_2}={(x_1+x_2)\choose (y_1+y_2)}</math>

=== Addition av vinklar ===
Vid addition av riktade vinklar räknas moturs positivt och medurs negativt. Summan av <math>A + B </math> är således den rotation som ges av att först utföra rotationen <math>A </math> och därefter rotationen <math>B </math>. En rotation först på <math>60^\circ </math> och därefter <math>30^\circ </math> blir en total rotation på <math>90^\circ </math> som visas genom följande uträkning <math>60^\circ + 30^\circ = 90^\circ </math>. Timvisaren på en klocka visar 12, efter 3&nbsp;timmar har visaren rört sig <math>-90^\circ </math>, efter 13&nbsp;timmar har visaren rört sig <math>-360^\circ + -(30^\circ) = -390^\circ </math>. Efter 1&nbsp;timme och 13&nbsp;timmar är vinkeln mellan 12:an på klockan och timvisaren densamma, det vill säga <math>30^\circ </math>.<ref name="ReferenceA"/>

=== Addition av bråktal ===
För att addera bråktal krävs det att bråktalen har samma nämnare. Om {{bråk|25|60}} och {{bråk|3|4}} ska adderas söks den [[minsta gemensamma nämnare]]n (MGN). För att lösa addition av bråktal räcker det dock med att hitta en gemensam nämnare och överföra de olika bråktalen till denna nämnare. I detta fall är till exempel 12 en gemensam nämnare, men även 60 och 240 är gemensamma nämnare. Detta problem kan illustreras i att räkna ut den totala tiden 25&nbsp;minuter plus 3/4&nbsp;timme.
:<math>\frac{(25/5)}{(60/5)}+\frac{(3 \cdot 3)}{(4 \cdot 3)}=\frac{5}{12}+\frac{9}{12}=\frac{(5+9)}{12}=\frac{14}{12}=\frac{70}{60}</math>
Svaret blir således att den totala tiden är 70 minuter. 

Allmänt gäller:
<math>\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{cb}{db}=\frac{(ad+cb)}{bd}</math> om ''b'' och ''d'' är skilda från noll.

=== Trigonometriska additionsformler ===
{{Huvudartikel|Trigonometriska formler#Samband för två vinklar}}
Nedan följer de vanligaste trigonometriska additionsformlerna som används när till exempel vinklar adderas eller subtraheras från varandra.<ref>{{bokref|författare= Jan Thompson & Thomas Martinsson|år=1991|titel=Matematiklexikon|förlag=Wahlström & Widstrand|id={{ISBN|91-46-16515-0}}}}</ref>    

* <math>\begin{align}\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B\end{align}</math>

* <math>\begin{align}\sin (A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B\end{align}</math>

* <math>\begin{align}\cos (A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B\end{align}</math>

* <math>\begin{align}\cos (A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B\end{align}</math>

* <math>\tan (A+B)=\frac{(\tan A + \tan B)}{(1-\tan A \tan B)}</math>

* <math>\tan (A-B)=\frac{(\tan A - \tan B)}{(1+\tan A \tan B)}</math>

=== Addition av transfinita tal ===
{{Huvudartikel|Transfinita tal}}
Ett [[transfinita tal|transfinit tal]] är ett oändligt [[ordinaltal]] eller ett oändligt [[kardinaltal]]. Skillnaden på ordinaltal och kardinaltal är att i ordinaltalet spelar platsen i mängden roll. Ett oändligt kardinaltal uttrycker ”storleken” av en oändlig mängd. Två mängder säges ha samma kardinaltal eller mäktighet om de på ett en-entydigt sätt kan ordnas till varandra.<ref name="ReferenceA"/>    

För oändliga kardinaltal ''m'' gäller följande aritmetik:
* <math>\begin{align}m+1=m\end{align}</math>
* <math>\begin{align}m+m=m\end{align}</math>
* <math>\begin{align}m \cdot m=m\end{align}</math>

== Källor ==
<references/>

== Se även ==
* [[Summa]]
* [[Term (matematik)|Termer]]
* [[Lista över matematiska symboler]]

== Externa länkar ==
*{{Commonscat|Addition}}
* {{Wiktionarypar|addition}}

{{Elementär aritmetik}}


[[Kategori:Elementär aritmetik]]
[[Kategori:Matematiska operationer]]
[[Kategori:Grundläggande matematik]]
[[Kategori:Addition| ]]
[[Kategori:Binära operationer]]